"Le chemin sur lequel je cours                  
Ne sera pas le même quand je ferai demi-tour
J’ai beau le suivre tout droit
Il me ramène à un autre endroit (...)
"
[Robert Desnos - Anneau de Möbius]

S'il y a bien un morceau des mathématiques qui fait peur aux étudiants, c'est bien la topologie, et pourtant, comme le dit bien le titre, "la topo, c'est rigolo". Mais tout ceci ne nous dit pas ce qu'est la topologie, et c'est donc le sujet de cette note. Partons à la découverte de ce que c'est que la topologie !

Bon, à la base, la topologie, c'est avant tout des calculs de dérivées, de dérivées partielles, d'intégrales simples, doubles, triples, curviligne, de calculs de courbure et d'autres trucs comme ça. Mais quand on parle de ça, ça fait toujours peur, donc parlons plutôt du bon côté de la topologie, celui qui fait intervenir des ciseaux, de la colle et un peu de papier : la construction d'un anneau de Möbius.

Avant de commencer, munissez-vous d'une feuille de papier (Quelque chose que l'on peut de préférence découper, comme une feuille de paroles de Jenifer), de ciseaux (attention, les ciseaux, ça peut être dangereux, faites bien attention en les maniant !) et de la colle (ou autre chose qui peut coller, comme des agrafes, du scotch, de la pâte à fixe ou un mauvais prof de math (rho, quel mauvais jeu de mot)).
Maintenant, découper une bande de papier dans cette feuille, de préférence bien plus longue que large. Vous obtenez alors une bande de papier (logique, puisque c'est ce que vous vouliez découper). A présent, collez l'extrémité de cette bandelette à l'extrémité opposée, tout en faisant rotater la bandelette d'un demi tour. Vous obtiendrez normalement un anneau qui ressemble à ceci :

decoup
(Merci à ce gentil élève de CM2 de m'aider dans ma démonstration)

Vous savez quoi ? A ce stade du découpage, vous tenez en main un véritable anneau de Möbius ! Mais quel est donc l'intérêt de cet anneau ? Et bien, avec, on peut jouer à être des topologistes sans calculer une seule dérivée ! (Et ça, c'est pas rien)

- Que peut on dire de cette surface ?... Oui, Damien, au fond ?
- Il y a un seul bord
- Bien vu, Damien !

Comme Damien vient de le dire, l'anneau n'a qu'un seul bord ! Si si, regardez !

mobius_1_d

- Avez-vous remarqué quelque chose d'autre sur cet anneau ? Oui, Damien ?...
- C'est une surface unilatère ?
- Tu es en CM2, et tu connais ce mot ? Tu as l'étoffes d'un futur topologiste, toi !

Et oui, comme Damien vient de le dire avec ses mots d'élève CM2, le ruban de Möbius n'a qu'un seul côté ! Et si Damien a remarqué ça, vous pourrez le voir avec l'anneau que vous possédez entre les mains si vous avez bien fait le découpage. Mais comme je suis gentil, j'ai demandé à une fourmi amie de montrer que le ruban n'a qu'un seul côté :

fourmiklein
(Suivez le mouvement d'une des fourmi : elle va passer des "deux" côtés avant de revenir à son point de départ)

- Quelqu'un veut rajouter quelque chose d'autre à propos du ruban de Moëbius ?
- C'est une surface de genre 1 ?
- Damien, tu es sûr d'être vraiment en CM2 ? Tu me fais peur à dire des trucs comme ça !

Bon, Damien a raison, c'est une surface de genre 1, mais j'ai pas tellement envie de dire ce que ça veut dire. On va plutôt faire du découpage à la place !
Allez, reprenons notre anneau de Moëbius de tout à l'heure ainsi que les ciseaux. Il va falloir être fort : nous allons éventrer cet anneau, mais c'est pour la bonne cause. Découpons donc cet anneau le long de toute la bande en son milieu, comme le montre notre ami Damien :

decoup2

Et qu'obtient-on après cette découpe ?... Et bien, je vous laisse faire vous-même le découpage... (Avec de la chance, vous comprendrez ce que le genre d'une surface est)

- Damien, quelque chose d'autre à rajouter ?
- Je vous parlerais bien de l'équation torique de la surface, mais vous allez surement dire que je n'ai rien à faire en CM2... Et moi, j'ai pas envie d'aller au collège, j'aime trop mes copains du primaire !
- ...

Avant de se quitter, quelques petites images que je n'ai pas réussi à placer, mais qui sont plutôt chouettes sur le sujet... Et la prochaine fois, nous continuerons à parler topologie, avec Felix Klein, sa cave à vin et son slip...

mobius_3_dmobius_9_d

Si vous vous demandiez pourquoi un seul demi tour lors de la construction, c'est parce que avec 3 ou 9 demis tours, ça donne des anneaux un peu plus compliqués...

recycle
(Cette note est recyclable)



Sources :
Les photos de Damien
Les autres images