Pourquoi la roue est-elle ronde ? (et la route plate ?)

" En voilà une bonne question qu'elle est bonne ! Et bien, si les roues sont rondes, c'est parce que la route est plate ! " [Un blogueur]

Il est je crois temps de revenir sur cette grande question qui avait déjà été posée ici, mais dont je vais à nouveau répondre dans un endroit plus adéquat, c'est à dire, ici. (SBDJAUD powa !)

L'hypothèse la plus fréquemment émise est celle-ci : la roue a été inventée la première, ronde, sans aucun but en soi. Un jour, un éminent chercheur australopithèque, Grüm, se pencha sur l'objet en lui même et se demanda "Groumf groumf groamf", que l'on peut traduire par "C'est chouette cet objet, mais ça serait encore mieux s'il pouvait servir à quelque chose". Il se mit alors en tête d'inventer la route. Ca serait quelque chose sur laquelle la roue pourrait rouler de manière uniforme, telle que si on la complète par une "voiture" (le concept n'était alors pas encore inventé, puisqu'il se situait juste après la route et l'épluche-légume dans la liste des choses à inventer), celle-ci roulera à l'horizontale.

De longue études plus tard, il arriva à la fabrication de ceci :

fig 1 : roue ronde sur route dangereuse

Le cahier des charges est parfait : la roue roule sans glissements et si on accroche une voiture en plaçant l'essieu au point bleu, elle roulera à l'horizontale. Tout le monde était heureux.

Quelques années plus tard, devant le nombre d'accidents de gens empalés sur la route, Grüm se posa à nouveau la question "Groumpf ?" ("Aurais-je par hasard placé l'essieu sur ma roue un peu n'importe où ?"). Il se répondit oui sans attendre, et inventa la roue droite, bien moins dangereuse, et encore utilisée aujourd'hui...

Une deuxième hypothèse est aussi émise : la roue n'a pas été inventée ronde, mais en forme de cacahouète. Quand Grüm réfléchit à comment fabriquer une route avec les fonctions adéquates, il fit de nombreux calculs savant (que je développerai dans la suite de cette note) et aboutit à un type de route tout à fait originale, celle-ci :

fig 2 : roue cacahouètoïdale sur route pour surfeurs

La route était parfaite, et tout le monde vécu heureux durant des milliers d'années... Bien sûr, cette hypothèse ne tient pas, car si tel était le cas, on aurait encore aujourd'hui des routes ressemblant à des vaguelettes. La première hypothèse est donc la bonne... (ou pas)

Mais quels calculs a donc fait Grüm pour aboutir à un si joli design de route ? Et bien, c'est facile, il s'y connaissait super bien en équation polaires, paramétriques et en intégrales...
En effet, si l'on connaît la forme de la roue par son équation polaire r=f(t), (en plaçant l'essieu à l'origine de l'axe) on en déduit tout de suite l'équation paramétrique de la route :
| x = F(t) (avec F une primitive de f)
| y = -f(t)

Par exemple :
* la cacahouète, d'équation polaire r=1+cos(t)*sin(t)
donne : | x = t+0.5*(sin(t))²
           | y = -1 -cos(t)*sin(t)
(Voir fig 2)

On peut tout à fait partir de l'équation paramétrique de la route pour en arriver à l'équation de la roue, mais c'est trop galère pour être expliqué sur ce blog.

A partir de ceci, on peut s'imaginer beaucoup de couples roues/routes de toutes beauté, et bien plus pratiques que cet trop commun roue ronde/route plate...

Fig 3 : Roues carrées pour routes bossues

fig 4 : Roues étoiles pour routes en dents de scie

Fig 5 : Autobus à roues cardioïdes accompagnée de sa route cycloïde

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Sources :
Plus d'explications et d'exemples (où j'ai récupéré les fig 3, 4 et 5)
Encore plus d'exemples (mais la page de marche plus...)

Comments

[Julio974]

Pourquoi ne pas simplement se téléporter ?

[Shub]

Mais comment à partir de routes non plates Grüm a-t-il géré les virages ?il y aura forcément un problème de pas entre les différentes formes non ?

[dany]

et la roue qui escalade les montagnes elle existe ?

[Tipierre]

Elle est terrible la roue cacahuetoïdale !

[Whiteshoulders]

Ne faudrait-il pas eliminer tout les models de route et de roue ne permetant pas un deplacement rectiligne uniforme du vehicule a partir d'un rotation uniforme de la roue ? Car si je n'm'abuse le bus a roue cardioïde n'a pas une vitesse uniforme ?