Combien avons nous de doigts par mains ?
Je vous le donne en mille : nous en avons (pour la majorité d'entre nous) 5. L'ensemble doigts de la main {pouce, index, majeur, annulaire, l'auriculaire} possède bien 5 éléments. On dit qu'il a pour cardinal (nombre d'éléments) 5. Bon, là, c'est facile de compter, puisque ce nombre est fini. (Pour la suite, quand je vais dire "il y a autant", ça veut dire que les ensembles ont le même cardinal)

Combien y a t'il de nombre premiers, de carrés parfait, d'entiers pairs ou de puissances de 2 ?

En voilà une bonne question que tout le monde s'est un jour posé (Peut-être avec beaucoup d'alcool dans le sang, mais tout le monde se l'est un jour posé). La réponse est simple, finalement : il y en a une infinité (quoiqu'il faut quand même passer par la démonstration pour les nombres premiers, mais là n'est pas le propos)

Une autre question alors :
Y a t'il plus de nombre premiers, de carrés parfait, d'entiers pairs ou de puissances de 2 ?
Mais là, la réponse est moins évidente : il y en a autant ! En fait, il y en a autant qu'il y a d'entiers dans N (l'ensemble des entiers naturels {1,2,3,...}). Tous les ensembles que je viens de citer sont des ensembles appelés ensembles dénombrables.
Un ensemble est dit dénombrable lorsqu'il existe une bijection entre cet ensemble et N. (C'est à dire que pour chaque élément de N, on peut associer un unique élément de cet ensemble, et inversement)
En gros, ça veut dire qu'il y a autant d'entiers que d'entiers pairs, puisque, pour chaque entier, on peut faire correspondre un nombre pair en le multipliant par 2, et inversement.
A partir de là, on peut voir que l'ensemble des zentiers relatifs Z ( ...,-2,-1,0,1,2,...} est également dénombrable, il suffit d'associer au côté positif de Z les entiers pairs de N et au côté négatif de Z les entiers impairs : (0 avec 0, -1 avec 1, 1 avec 2, -2 avec 3, 2 avec 4, et ainsi de suite).
Pour ceux qui ont du courage, on peut aussi montrer que N×N (l'ensemble des couples d'entiers) est également dénombrable, en associant à un couple (n,m) l'entier 2n(2m+1) (Si vous avez eu le courage d'avoir lu jusqu'à ici, je vous laisse réfléchir à la question)

Et pourquoi je parle de ça ? Juste histoire de donner tord à Euclide qui nous disait que le tout est plus grand que la partie...


Bon, mais ça amène à une réflexion : Si il y a des ensembles dénombrables, c'est qu'il y en a des indénombrables, alors ! Exactement ! Par exemple, l'ensemble des réels R (qui contient tous les nombres à infinité de décimales), ou l'ensemble des points dans un cercle. J'ai la flemme de vous faire la démonstration la plus célèbre (l'argument de la diagonale de Cantor, je vous laisse chercher sur google)

En gros, ça veut dire qu'il y a autant de nombres dans l'ensemble [0,1] (tous les nombres entre 0 et 1)que dans R tout entier, mais qu'il y beaucoup plus de points dans l'ensemble [0,1] que dans N.

Tout ça pour dire qu'il y a plusieurs infinis, plus ou moins grands. Celui de N (que nous appellerons aleph0 (aleph 0)) et celui de R (aleph1). Désormais, quand vous voudrez dire à propos de quelque chose qu'il y en a une inifinité, soyez précis dans vos terme, et employez aleph0 ou aleph1 ! (Ou même aleph 2, mais c'est rare, dans la nature)

Une autre question que vous allez sans doute (pas) vous poser : Ya aleph 0, ya aleph 1... Y a t'il un aleph 0.5 ou quelque chose entre les deux ?... Un ensemble infini qui soit plus grand que N et plus petit que R ?...

Et bien la réponse est : oui ! Ou bien, non ! En fait, c'est comme vous voulez... On s'accorde plutôt sur le fait que la réponse est non (hypothèse du continu) mais on ne pourra jamais le démontrer. Non pas que les mathématiciens soient trop nuls pour le démontrer, mais parce qu'un petit malin a sû démontrer que c'était quelque chose d'impossible à démontrer (C'est ce qu'on appelle un problème indécidable, j'en reparlerai peut-être un jour)

Bref, que retenir de cette note, si ce n'est qu'elle est trop longue et trop technique, et que vous pourrez ressortir demain midi pour paraitre intelligent à table ?
- Il y a autant d'entiers pairs que d'entiers tout courts.
- Il y a plus d'éléments dans R que dans N.
- Il y a des infinis plus grands que d'autres.
- Ca ne sert à rien de se poser la question sur ce qu'il y a entre aleph0 et aleph1.

Et voilà. Je remercie chaleureusement tout ceux qui ont tout lu !