1, 2, 5, 10, 20 ou 50 centimes d'euros, un euro ou 2 euros... De belles pièces bien rondes...

Ceausescu, célèbre dictateur communiste, avait bien comprit que le système était quelque chose de bien trop capitaliste. C'est pour cela qu'il inventa la pièce de 3 lei... Notre ami dictateur n'a cependant pas été le seul à changer la formule des [1,2,5,10,20,50,100,200] unités, puisque les États-Unis ont fait leur pièce de 3 cents dans les années 1850 et les russes ont fait leur pièce de 3 kopecks...

3lei

Une pièce de 3 unités, c'est bien, mais pourquoi ne pas réformer tout le système ?...

Première question à se poser : pourquoi a-t-on plusieurs pièces différentes ?
Question un brin stupide (pas qu'un brin, d'ailleurs), je sais, mais imaginons un monde pas bien merveilleux où seule la pièce de un centime existerait... Certes, on aurait plus à chercher les bonnes pièces dans notre poche, mais pour payer les 87 centimes du carambar... Pour chaque somme à payer entre 1 et 100 unités, il va donc falloir en moyenne 50 pièces.

En face de ce monde pas bien merveilleux, un autre monde pas bein merveilleux où les gens ne savent pas compter. Ils ont donc autant de pièces que de sommes payables. Pour le caramabr à 89 centimes, pas de problème, la pièce de 89 centimes existe... C'est pour celà que les habitants de ce monde sont aussi baraqués, à force de porter toujours sur soi des porte-monnaies de 9 kilos... Pour chaque somme à payer entre 1 et 100 unités, il va donc falloir en moyenne 1 pièce.

Un jeu de pièce sera donc efficace si, en moyenne, le nombre de pièces nécessaires pour payer une somme est minimal, tout en limitant le nombre de pièces différentes.

Deuxième question : quel est maintenant le meilleur jeu de pièces ?
Le meilleur moyen de le savoir, finalement, c'est de faire des tests. Comme j'aime bien l'informatique aussi, je me suis permit de programmer toutes les fonctions  dont je vais vous parler. Si vous voulez faire vos propres tests, téléchargez vite ce petit logiciel (même pas besoin d'installation, il marche tout de suite).

Pour les besoins de compréhensions, et au lieu de faire des phrases trop longues, je vais appeler le nombre minimum de pièces pour payer 49 centimes avec des pièces de [1,2,5,10,20] centimes eff(49,[1,2,5,10,20])

Comment fait-on pour payer 49 centimes en faisant l'appoint avec notre actuel jeu de pièces ? Et bien, il faut 5 pièces : 49=20+20+5+2+2
Et avec d'autres systèmes, alors ?...
eff(49,[1,2,5,10,20]) = 5
eff(49,[1,3,6,10,20]) = 4
eff(49,[1,4,5,15,30]) = 3
eff(49,[1,2,3,4,49]) = 1

Évidemment, et ça se voit bien sur le dernier exemple, un seul exemple ne donne pas l'efficacité d'un jeu de pièce. Ce qui serait intéressant à connaitre, c'est le nombre moyen de pièces nécessaires pour payer des sommes entre 0 et 99 centimes, par exemple. Avec notre actuel jeu de pièces, notons effmoy(100,[1,2,5,10,20,50]) le nombre moyen de pièces nécessaires pour payer une somme entre 1 et 99 centimes. (effmoy(100,[1,2,5,10,20,50]) = (eff(0,[1,2,5,10,20,50]) + eff(1,[1,2,5,10,20,50]) + ... + eff(99,[1,2,5,10,20,50])) /100 )

La question que tout le monde attend à présent... Combien faut-il en moyenne de pièces pour payer une somme entre 0 et 99 centimes (en considérant que tous les prix son équiprobables) avec notre jeu d'euros basique ?

Et bien..........(temps de calcul long, c'est un problème NP, quand même)...........
effmoy(100,[1,2,5,10,20,50]) = 3,4
Et avec d'autres systèmes, alors ?...
effmoy(100,[1,3,4,10,30,40]) = 3,2 (Waw, c'est mieux, dites donc !)
effmoy(100,[1,4,6,21,30,37]) = 2,92

En fait, avec 6 pièces et X=100, le système [1,4,6,21,30,37] est le plus efficace (ex aequo avec [1,5,8,20,31,33])

Troisième question : et si on ajoute les pièces de 1 euro et 2 euros ?
Et bien, il y a juste à faire d'autres petits calculs :

effmoy(500,[1,2,5,10,20,50,100,200]) = 4,6
Une moyenne de 4,6 pièces aves un jeu de 8 pièces, c'est pas vraiment la panade...

Mais quels sont donc les meilleurs jeux de pièce, alors ?...
Ouvrez vos esgourdes, l'heure est grave...
Pour les sommes entre 1 et 99 centimes :
* 5 pièces, le gagnant est...
effmoy(100,[1,5,16,23,33]) = 3,92
* 6 pièces, les deux gagnants ex-aequo sont...
effmoy(100,[1,4,6,21,30,37]) = effmoy(100,[1,5,8,20,31,33]) = 2,92
* 7 pièces, le gagnant est...
effmoy(100,[1,4,9,11,26,38,44]) = 2,65

Pour les sommes entre 1 et 499 centimes :
* 4 pièces, le gagnant est...
effmoy(500,[1,7,57,80]) = 6,804
* 5 pièces, le gagnant est...
effmoy(500,[1,6,20,85,121]) = 5,44
* 6 pièces, les gagnants ex-aequo sont...
effmoy(500,[1,6,14,62,99,140]) = effmoy(500,[1,8,13,69,110,160]) = 4,67

La question sur le jeu de 7 et 8 pièces optimal est ouvert, si vous avez une idée...

Bref, avec seulement 6 pièces, on atteint le même nombre moyen de pièces qu'avec notre bon vieux système européens de pièces... Moins de pièces différentes, moins de pièces en moyenne... J'appelle tout de suite la banque centrale européenne, il y a une réforme à faire là !

Bref...
Votez pour les pièces de 62 centimes, 99 centimes et 1€40 !

Et dans la prochaine note, la suite...


Sources :
Pour la science, n°335, septembre 2005
Et puis, je remets là mes petits programmes