De la nécéssité d'inventer la pièce de 62 centimes

1, 2, 5, 10, 20 ou 50 centimes d'euros, un euro ou 2 euros... De belles pièces bien rondes...

Ceausescu, célèbre dictateur communiste, avait bien comprit que le système était quelque chose de bien trop capitaliste. C'est pour cela qu'il inventa la pièce de 3 lei... Notre ami dictateur n'a cependant pas été le seul à changer la formule des [1,2,5,10,20,50,100,200] unités, puisque les États-Unis ont fait leur pièce de 3 cents dans les années 1850 et les russes ont fait leur pièce de 3 kopecks...

Une pièce de 3 unités, c'est bien, mais pourquoi ne pas réformer tout le système ?...

Première question à se poser : pourquoi a-t-on plusieurs pièces différentes ?
Question un brin stupide (pas qu'un brin, d'ailleurs), je sais, mais imaginons un monde pas bien merveilleux où seule la pièce de un centime existerait... Certes, on aurait plus à chercher les bonnes pièces dans notre poche, mais pour payer les 87 centimes du carambar... Pour chaque somme à payer entre 1 et 100 unités, il va donc falloir en moyenne 50 pièces.

En face de ce monde pas bien merveilleux, un autre monde pas bein merveilleux où les gens ne savent pas compter. Ils ont donc autant de pièces que de sommes payables. Pour le caramabr à 89 centimes, pas de problème, la pièce de 89 centimes existe... C'est pour celà que les habitants de ce monde sont aussi baraqués, à force de porter toujours sur soi des porte-monnaies de 9 kilos... Pour chaque somme à payer entre 1 et 100 unités, il va donc falloir en moyenne 1 pièce.

Un jeu de pièce sera donc efficace si, en moyenne, le nombre de pièces nécessaires pour payer une somme est minimal, tout en limitant le nombre de pièces différentes.

Deuxième question : quel est maintenant le meilleur jeu de pièces ?
Le meilleur moyen de le savoir, finalement, c'est de faire des tests. Comme j'aime bien l'informatique aussi, je me suis permit de programmer toutes les fonctions  dont je vais vous parler. Si vous voulez faire vos propres tests, téléchargez vite ce petit logiciel (même pas besoin d'installation, il marche tout de suite).

Pour les besoins de compréhensions, et au lieu de faire des phrases trop longues, je vais appeler le nombre minimum de pièces pour payer 49 centimes avec des pièces de [1,2,5,10,20] centimes eff(49,[1,2,5,10,20])

Comment fait-on pour payer 49 centimes en faisant l'appoint avec notre actuel jeu de pièces ? Et bien, il faut 5 pièces : 49=20+20+5+2+2
Et avec d'autres systèmes, alors ?...
eff(49,[1,2,5,10,20]) = 5
eff(49,[1,3,6,10,20]) = 4
eff(49,[1,4,5,15,30]) = 3
eff(49,[1,2,3,4,49]) = 1

Évidemment, et ça se voit bien sur le dernier exemple, un seul exemple ne donne pas l'efficacité d'un jeu de pièce. Ce qui serait intéressant à connaitre, c'est le nombre moyen de pièces nécessaires pour payer des sommes entre 0 et 99 centimes, par exemple. Avec notre actuel jeu de pièces, notons effmoy(100,[1,2,5,10,20,50]) le nombre moyen de pièces nécessaires pour payer une somme entre 1 et 99 centimes. (effmoy(100,[1,2,5,10,20,50]) = (eff(0,[1,2,5,10,20,50]) + eff(1,[1,2,5,10,20,50]) + ... + eff(99,[1,2,5,10,20,50])) /100 )

La question que tout le monde attend à présent... Combien faut-il en moyenne de pièces pour payer une somme entre 0 et 99 centimes (en considérant que tous les prix son équiprobables) avec notre jeu d'euros basique ?

Et bien..........(temps de calcul long, c'est un problème NP, quand même)...........
effmoy(100,[1,2,5,10,20,50]) = 3,4
Et avec d'autres systèmes, alors ?...
effmoy(100,[1,3,4,10,30,40]) = 3,2 (Waw, c'est mieux, dites donc !)
effmoy(100,[1,4,6,21,30,37]) = 2,92

En fait, avec 6 pièces et X=100, le système [1,4,6,21,30,37] est le plus efficace (ex aequo avec [1,5,8,20,31,33])

Troisième question : et si on ajoute les pièces de 1 euro et 2 euros ?
Et bien, il y a juste à faire d'autres petits calculs :

effmoy(500,[1,2,5,10,20,50,100,200]) = 4,6
Une moyenne de 4,6 pièces aves un jeu de 8 pièces, c'est pas vraiment la panade...

Mais quels sont donc les meilleurs jeux de pièce, alors ?...
Ouvrez vos esgourdes, l'heure est grave...
Pour les sommes entre 1 et 99 centimes :
* 5 pièces, le gagnant est...
effmoy(100,[1,5,16,23,33]) = 3,92
* 6 pièces, les deux gagnants ex-aequo sont...
effmoy(100,[1,4,6,21,30,37]) = effmoy(100,[1,5,8,20,31,33]) = 2,92
* 7 pièces, le gagnant est...
effmoy(100,[1,4,9,11,26,38,44]) = 2,65

Pour les sommes entre 1 et 499 centimes :
* 4 pièces, le gagnant est...
effmoy(500,[1,7,57,80]) = 6,804
* 5 pièces, le gagnant est...
effmoy(500,[1,6,20,85,121]) = 5,44
* 6 pièces, les gagnants ex-aequo sont...
effmoy(500,[1,6,14,62,99,140]) = effmoy(500,[1,8,13,69,110,160]) = 4,67

La question sur le jeu de 7 et 8 pièces optimal est ouvert, si vous avez une idée...

Bref, avec seulement 6 pièces, on atteint le même nombre moyen de pièces qu'avec notre bon vieux système européens de pièces... Moins de pièces différentes, moins de pièces en moyenne... J'appelle tout de suite la banque centrale européenne, il y a une réforme à faire là !

Bref...
Votez pour les pièces de 62 centimes, 99 centimes et 1€40 !

Et dans la prochaine note, la suite...

---

Sources :
Pour la science, n°335, septembre 2005
Et puis, je remets là mes petits programmes

Comments

[Nicomm]

Ce que j'aime bien dans tes statistiques, fortes intéressantes je dois l'avouer, c'est qu'à chaque fois tu considères que la personne fait l'appoint.

Il faudrait voir si l'utilisation de tes pièces ne poseraient pas un problème si on doit récupérer de l'argent.
Et à mon avis, c'est là que t'y perds enormement avec les systèmes de solutions que tu as trouvé.
Du 1;3;9;27;81;243 me semble tellement plus pratique dans le cas où on doit rendre aussi de l'argent.

[cyril]

Mouais, perso, j'expérimente assez souvent les tickets restaurants à 8,4 et 9,5 euros (sans parler de ceux à 5,47 suite au passage du franc luxembourgeois à la monnaie unique) et si je ne connais pas le nombre de pièces que cela me permet d'économiser, je suis à peu près certain qu'il est largement compensé par le temps que la caissière sorte sa calculatrice pour faire l'addition...

Alors les pièces de 62 centimes, ce sera pour quand on connaîtra tous par coeur notre table de 62 !

[El Jj]

Phoenixx > L'idée de cette note est, comme je le met dans les sources, est surtout basé sur un article de Pour la sciences. J'y ai pris les résultats.

Tipierre, Vincent > Merci !

SToto98, jerjer > J'ai évidemment occulté la praticité et la simplicité de ces nouveaux systèmes, ainsi que la non équivalence des probabilités des différents prix (loi de Benford, prix ronds), histoire de légitimiser un peu cette révolution. Mais comme il est indiqué à la fin de l'article, ce n'est pas terminé, je reviendrais la dessus samedi prochain.
L'intérêt de la note est juste d'expliquer que le jeu de pièce européen n'est pas mathématiquement le meilleur...

[jerjer]

dans le calcul de ta moyenne, supposes-tu que chaque somme a la même probabilité d'être payée? en d'autres termes, a-t-on vraiment autant de chances de devoir payer, disons, 2 euros ou 95 centimes, que de faire face à une addition d'1.67 euros?

[SToto98]

Super sujet, réellement intéressant ! Mais si ils ont choisit les valeurs faciales de nos pièces de la sorte, il y a certainement une raison qui n'est donc manifestement pas mathématique. Je postule pour la simplification du calcul mental nécessaire à l'emploi des dites piécettes. Les tables de 2 et de 5 étant les plus accessibles au commun des mortel, c'est certainement la cause du choix actuel, mais donc, avec ces deux tables, y avait il un choix plus judicieux que l'actuel ? sans vérifier je parierai que non.

Question subsidiaire : quel est la différence de coût pour l'Etat (et donc nous autres) de ce choix par opposition au choix mathématiquement optimal et ne vaudrait il pas mieux investir ce coût dans l'apprentissage plus poussé des tables de 62, 99 et 140 en primaire (pour faire juste, il ne faut pas oublier d'ajouter le prix du métal nécessaire à créer ce surplus de pièces hein ;-) )