Parce que ce blog aussi peut tomber à 9,81 m/s² dans l'inutilité, répondons aujourd'hui à cette question e-mail posée par Kaki (vous aussi, envoyez vos questions, peut-être elles seront tirées au sort pour y répondre) :

Pourquoi, quand on fait un nœud simple avec un ruban, on obtient un pentagone ?

ruban

En voilà une merveilleuse question qui nécessite que l'on s'y intéresse vraiment ! Pour comprendre ce phénomène, il faut remonter à l'origine du nœud, à la manière dont on le forme. Puisque un long discours vaut mieux que quelques images, et que j'ai pas le temps de discourir, voici quelques images :

Mode_d_emploi

 

Etape un : ...
Etape deux : ...
Etape trois : ...

Etape quatre : on tire des deux côtés. Les différents pliages vont alors s'agencer entre eux pour former un magnifique pentagone régulier.

 

Pour comprendre d'où il vient, il suffit simplement de s'intéresser aux pliages aboutissant au nœud terminé :

pliages

Etape un : On plie selon quelque chose qui ressemble à [ab]
Etape deux : On plie selon quelque chose qui ressemble à [cd]
Etape trois : On plie selon quelque chose qui ressemble à [ef]

 

Et à l'étape quatre, on tire des deux côtés, de manière à ce que toutes les longueurs soient minimales. Cela revient à avoir effectué les pliages de manière à ce que [ac] et [df] correspondent exactement à la largeur du ruban (donnant ainsi les points a', b', d' et f' : ac=a'c', df=d'f').

 

pentagone

Les pliages donnent tout un tas d'égalités entre les différentes longueurs, identifiées par leur couleurs dans le schéma ci-dessous.

pliages2

Et c'est là que cet exposé devient impossible à suivre !
soit x la mesure de l'angle ecd
(cd) étant la bissectrice de ecd, on a ecd=bcd
ecd et cdb sont alterne-interne : ecd=cdb
On a donc bcd=cdb, cbd est donc isocèle : cb=bd=de=ec=bd'=ec'

On peut alors trouver tout un tas de triangles semblables et d'angles alternes-internes, donc, plein d'angles égaux.

pliages3

On a alors (ec')//(cf)//(da)//(bd')
On se retrouve avec ec'fc et adbd' étant des losanges, et acfd un parallélogramme.
De quoi conclure que ef=cd=ab et ac=fd. De la à conclure que tout est égal, il n'y a qu'un pas, que je n'hésite pas à franchir (il suffit d'ajouter le segment [a'f] pour voir apparaitre tout un tas de triangles semblables isocèles).

On a alors ac=cd=de=eb=ba : abcde est un pentagone régulier !

(Il y a peut être (et très sûrement) plus rapide, mais j'ai jamais été très fan de ce type de géométrie...)