Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes

Mon papa, il est mille fois plus fort que le tien !

- Mon papa, il est plus fort que le tien !
- Nan, c'est le mien le plus fort !
- C'est pas vrai, parce que le mien, il est 100 fois plus fort !
- Nan, le mien, il est un million de fois plus fort !
- Mais le mien, il est un millions plus une fois plus fort !

Bon, évidemment, à moins de s'essouffler, on peut continuer cette discussion intéressante indéfiniment, tant qu'on arrive à trouver des nombres toujours plus grand... Alors, comment mettre K.O. son adversaire au jeu du "Mon papa, c'est le plus fort" ? Tel est l'objet de cet article !

Pour atteindre des grands nombres, rien ne vaut les puissances de 10, c'est d'ailleurs comme ça que commencent toute bonne partie de "mon papa, c'est l'plus fort". Les choses risquent fort de commencer comme ça, les plus simples des grands nombres :
Cent (100), Mille (1 000) , Un millions (1 000 000), Un milliard (1 000 000 000), etc.

Et après ? Le débat fait rage, puisque deux écoles s'affrontent. D'un côté, ceux qui adoptent la progression par 1000 et ceux qui adoptent la progression par 1 000 000, ce qui rend les discussions à propos de grands nombres incompréhensibles (d'où l'utilisation des puissances de 10).   
    Selon la règle traditionnelle, on a ensuite le trillion (10¹²), le quatrillion (10¹⁵), le quintillion (10¹⁸), le sextillion (10²¹), le septillion (10²⁴), l'octillion (10²⁷) etc.
    Selon la règle officielle, on a ensuite le billion (10¹²), trillion (10¹⁸), le quatrillion (10²⁴), le quintillion (10³⁰), le sextillion (10³⁶), le septillion (10⁴²), l'octillion (10⁴⁸) etc.
    Il y a encore d'autres systèmes utilisés, mais on va rester sur le système officiel.

Mais tout ça, finalement, ça reste des petits chiffres, on peut aller bien plus loin. Archimède, par exemple, en s'amusant à compter les grains de sables, a supposé que la sphère terrestre pouvait contenir 10⁶⁴ grains de sable... Carl Sagan, quant a lui, a estimé le nombre d'atomes dans l'Univers a 10⁸⁰.

Et après ? On peut toujours trouver des nombres plus grands ! Leur gros problème résidera dans le fait qu'il ne représentent pas grand chose de physique.

C'est histoire de créer des grands nombres que Kasner demanda à son neveu un nom pour le nombre qu'il venait d'inventer, 10¹⁰⁰ (Utilisé pour parlé d'un nombre grand qui n'est pas l'infini). Alors âgé de 8 ans, son neveu lui répondit "gogol". C'est ainsi que le gogol fut né, un "un" suivit de cent "zéros". C'est d'ailleurs de là que vient le nom du moteur de recherche, qui, à terme, devrait recenser un gogol de pages... Ce nombre reste malgré tout à peu près égal à 70! (factorielle de 70, c'est à dire, 1×2×3×...×70).

Et après ? On a le nombre de Shannon (10¹²⁰), c'est à dire, le nombre possible de parties d'échec !

Et après ? Et bien, c'est à ce moment là qu'il faut citer l'Asaṃkhyeya, qui vaut environ 10¹⁴⁰, qui est un nombre bouddhiste, littéralement "au dela des nombres". C'est le nombre considéré comme étant le plus grand. En effet, un bouddhiste jouant au jeu du "Mon papa c'est l'plus fort" ne pourra pas aller plus loin que "Mon papa est un Asaṃkhyeya de fois plus fort que toi"...

Et après ? Tout ça, finalement, ça reste des simples puissances de 10, on peut facilement les écrire sur une feuille de papier...
On peut toujours trouver des nombres plus grand, qui deviennent même impossible à écrire ! Dans la foulée du gogol fut inventé le gogolplex, égal à 10^{un gogol}. (D'où le nom du siège social de google, le googlplex). D'autres mathématiciens ont prolongé le concept, un disant qu'un N-plex valait 10^N, et donc, le gogolplexplex vaut 10^{un gogolplex}.

Et après ? Et bien, c'est là que Knuth arrive et propose un tout nouveau système de puissance.
Avant, nous avions l'écriture ab, que l'on comprenait comme ça :

Et bien, Knuth propose un système de doubles flèches verticales :

On a, par exemple,
ou   , nombre plus grand que le gogolplex.

Et après ? Et bien, Knuth a encore agrandi son concept de flèches, en proposant la triple flèche, la quadruple flèche et la n-flèche définie de manière récursive. Ca donne alors quelque chose comme ça :

On a, par exemple,

Et en généralisant, ça donne :

Et c'est là qu'il faut parler du nombre de Graham, qui est le plus grand nombre jamais utilisé dans une démonstration mathématique (une sombre histoire de coloration d'hypercube), qui correspond au 64e terme de cette suite :
u₁ = 4
u₂ =      (Avec 4 flèches)
u₃ =      (Avec flèches)
Et ainsi de suite jusqu'à u₆₄, le nombre de Graham, qui aura u₆₃ flèches...

Et après ? Et bien à ce niveau là, on se dit que les nombres deviennent trop grand (ce qui n'est pas peu dire...) et qu'il serait inutile d'en chercher des encore plus grand... Et pourtant, il existe une notation permettant d'en avoir des encore plus grands ! C'est la notation des flèches de Conway !
Cette notation (utilisant la récursivité) consiste en une suite d'entiers séparés par des flèches (Par exemple, ).
Pour une chaine de longueur 1, on a p=p.
Pour une chaine de longueur 2, on a
Pour une chaine de longueur 3, il faut utiliser les flèches de Knuth dans la définition :

Pour une chaine de longueur supérieur, la définition rigoureuse devient nécessaire :

(Avec p copies de X, p-1 copies de q et p-1 paires de parenthèses... Lisez plutôt ça pour comprendre)

Ainsi, on peut encadrer le nombre de Graham G avec des nombres de la notation de Conway :

Mais le nombre de Graham reste ridiculement petit par rapport au nombre cité un peu plus haut...

Et après ? On pourrait toujours s'amuser à définir une notation correspondant à des itérations de notation des flèches de Conway, mais pour l'instant, aucun mathématicien n'a jugé utile de le faire...

- Mon papa, il est plus fort que le tien !
- Nan, c'est le mien le plus fort !
- C'est pas vrai, parce que le mien, il est 100 fois plus fort !
- Nan, le mien, il est factoriel de l'itération d'un nombre de Graham de fois de la notation en flèche de Conway avec le gogolplex...plex avec un Asaṃkhyeya de "plex"  de fois plus fort que ton père !!!!
- Euh... et ben... euh... Le mien, il est factoriel de l'itération d'un nombre de Graham de fois de la notation en flèche de Conway avec le gogolplex...plex avec un Asaṃkhyeya de "plex" plus une fois plus fort !

Sources :
Les grands nombres
Notation des puissances itérés de Knuth
Notation des flèches chaînées de Conway