Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes

Mon papa, il est mille fois plus fort que le tien !

- Mon papa, il est plus fort que le tien !
- Nan, c'est le mien le plus fort !
- C'est pas vrai, parce que le mien, il est 100 fois plus fort !
- Nan, le mien, il est un million de fois plus fort !
- Mais le mien, il est un millions plus une fois plus fort !

Bon, évidemment, à moins de s'essouffler, on peut continuer cette discussion intéressante indéfiniment, tant qu'on arrive à trouver des nombres toujours plus grand... Alors, comment mettre K.O. son adversaire au jeu du "Mon papa, c'est le plus fort" ? Tel est l'objet de cet article !

Pour atteindre des grands nombres, rien ne vaut les puissances de 10, c'est d'ailleurs comme ça que commencent toute bonne partie de "mon papa, c'est l'plus fort". Les choses risquent fort de commencer comme ça, les plus simples des grands nombres :
Cent (100), Mille (1 000) , un million (1 000 000), un milliard (1 000 000 000), etc.

Et après ?
Le débat fait rage, puisque deux écoles s'affrontent. D'un côté, ceux qui adoptent la progression par 1000 et ceux qui adoptent la progression par 1 000 000, ce qui rend les discussions à propos de grands nombres incompréhensibles (d'où l'utilisation des puissances de 10).   
    Selon la règle traditionnelle, on a ensuite le trillion (1012), le quatrillion (1015), le quintillion (1018), le sextillion (1021), le septillion (1024), l'octillion (1027) etc.
    Selon la règle officielle, on a ensuite le billion (1012), trillion (1018), le quatrillion (1024), le quintillion (1030), le sextillion (1036), le septillion (1042), l'octillion (1048) etc.
    Il y a encore d'autres systèmes utilisés, mais on va rester sur le système officiel.

Mais tout ça, finalement, ça reste des petits nombres, on peut aller bien plus loin. Archimède, par exemple, en s'amusant à compter les grains de sables, a supposé que la sphère terrestre pouvait contenir 1064 grains de sable... Carl Sagan, quant a lui, a estimé le nombre d'atomes dans l'Univers a 1080.

Et après ?
On peut toujours trouver des nombres plus grands ! Leur gros problème résidera dans le fait qu'il ne représentent pas grand chose de physique.

C'est histoire de créer des grands nombres que Kasner demanda à son neveu un nom pour le nombre qu'il venait d'inventer, 10100 (utilisé pour parler d'un nombre grand qui n'est pas l'infini). Alors âgé de 8 ans, son neveu lui répondit "gogol". C'est ainsi que le gogol fut né, un "un" suivit de cent "zéros". C'est d'ailleurs de là que vient le nom du moteur de recherche, qui, à terme, devrait recenser un gogol de pages... Ce nombre reste malgré tout à peu près égal à 70! (factorielle de 70, c'est à dire, 1×2×3×...×70).

Et après ?
On a le nombre de Shannon (10120), c'est à dire, le nombre théorique possible de parties d'échec !

Et après ?
Et bien, c'est à ce moment là qu'il faut citer l'asaṃkhyeya (असंख्येय, pour les grammar nazi du sanskrit), qui vaut environ 10140, qui est un nombre bouddhiste, littéralement "au dela des nombres". C'est le nombre considéré comme étant le plus grand. En effet, un bouddhiste jouant au jeu du "Mon papa c'est l'plus fort" ne pourra pas aller plus loin que "Mon papa est un Asaṃkhyeya de fois plus fort que toi"... La valeur de l'asaṃkhyeya reste cependant sujette à caution, puisqu'il vaut 105×2^103 ou 107×2^103 (un nombre possédant environ 1032 chiffres.

Et après ?
Mais ces nombres sont ridiculement petits par rapport à ce qui suit : les plex ! Dans la foulée du gogol fut inventé le gogolplex, égal à 10un gogol. (D'où le nom du siège social de google, le googleplex). D'autres mathématiciens ont prolongé le concept, un disant qu'un N-plex valait 10N, et donc, le gogolplexplex vaut 10un gogolplex.

Et après ?
Et bien, c'est là que Knuth arrive et propose un tout nouveau système de puissance.
Avant, nous avions l'écriture ab, que l'on comprenait comme ça :

a_b

Et bien, Knuth propose un système de doubles flèches verticales :

aflflb

On a, par exemple, 3flfl3
ou   9flfl5, nombre considérablement plus grand que le gogolplex.

Et après ?
Et bien, Knuth a encore agrandi son concept de flèches, en proposant la triple flèche, la quadruple flèche et la n-flèche définie de manière récursive. Ca donne alors quelque chose comme ça :

aflflflb

On a, par exemple, 2flflfl3

Et en généralisant, ça donne :

aflflnb

Ces nombres ont eu une application concrète, celle du nombre de Graham, le plus grand nombre jamais utilisé dans une démonstration mathématique (une sombre histoire de coloration d'hypercube), qui correspond au 64e terme de cette suite :
u1 = 4
u2 = 3flflflfl3     (Avec 4 flèches)
u3 = 3flpoints3     (Avec u2 flèches)
Et ainsi de suite jusqu'à u64, le nombre de Graham, qui aura u63 flèches...

Et après ?
Et bien à ce niveau là, on se dit que les nombres deviennent trop grand (ce qui n'est pas peu dire...) et qu'il serait inutile d'en chercher des encore plus grand... Et pourtant, il existe une notation permettant d'en avoir des encore plus grands ! C'est la notation des flèches de Conway !
Dans la notation de Conway, les nombres s'écrivent sous la forme d'une chaîne, comme 2 → 15 → 42 → 7. Dans ce cas là, la chaîne est de longueur 4, composé d'une chaîne queue (2  → 15  → 42) et d'un terme de tête (7).

La valeur numérique de cette chaîne est définie de manière récursive :

  • Une chaîne de longueur 1 représente le nombre.
    • Si la chaîne est de longueur 2, c'est l'exponentiation classique : 
      p → q = pq
  • Si le terme de tête est 1, la chaîne est égale à sa chaîne de queue :
    Y → 1 = Y
  • De manière similaire, la présence d'un 1 dans la chaîne la coupe :
    Y → 1 → X = Y
  • Si la chaîne est de longueur supérieure ou égale à 3, elle est égale à une chaîne de même longueur égale où le nombre de tête est décrémenté, et où l'avant-dernier terme est considérablement plus grand :
    Y → p → q = Y → (Y → p-1 → q) → q-1 (pour p,q ≥ 2)

Cette dernière propriété permet de réduire la taille des chaînes.
Ainsi, la chaîne 2 → 15 → 42 → 7 est égale à 2 → 15 → (2 → 15 → 41 → 7) → 6 (chaîne de longueur 4, avec un terme de tête plus petit). En appliquant cette règle de récursion encore 5 fois, le dernier terme sera 1, ce qui permet de "diminuer" à 3 la longueur de la chaîne. Seulement, le dernier terme de cette nouvelle chaîne de longueur 3 est immensément grand...

Ainsi, on peut encadrer le nombre de Graham G avec des nombres de la notation de Conway :

encadrement

Mais le nombre de Graham reste ridiculement petit par rapport au nombre 3fl3fl3fl3...

Et après ?
On pourrait toujours s'amuser à définir une notation correspondant à des itérations de notation des flèches de Conway, mais pour l'instant, aucun mathématicien n'a jugé utile de le faire...

- Mon papa, il est plus fort que le tien !
- Nan, c'est le mien le plus fort !
- C'est pas vrai, parce que le mien, il est 100 fois plus fort !
- Nan, le mien, il est factoriel de l'itération d'un nombre de Graham de fois de la notation en flèche de Conway avec le gogolplex...plex avec un Asaṃkhyeya de "plex"  de fois plus fort que ton père !!!!
- Euh... et ben... euh... Le mien, il est factoriel de l'itération d'un nombre de Graham de fois de la notation en flèche de Conway avec le gogolplex...plex avec un Asaṃkhyeya de "plex" plus une fois plus fort !


Sources :
Les grands nombres
Notation des puissances itérés de Knuth
Notation des flèches chaînées de Conway

Posté par El Jj à 03:35 - Commentaires [18] - Permalien [#]
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Commentaires sur Mon papa, il est mille fois plus fort que le tien !

    WOOOOOOOW!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    Eh bien,c'est exceptionnel!Cet article est méga! Je ne savais pas qu'il y avait des nombres utilisé étant plus grand que gogolplex. Selon toi, le nombre «G» est combien de fois plus grand que le gogolplex? Sache que j'ai tout compris à cet article. Mais, est-ce vrai que l'univers contient «10 exp.80» atomes?

    Posté par vinquoi, 25 décembre 2007 à 18:47 | | Répondre
  • REBONJOUR!

    Phoenixx, Phoenixx,Phoenixx! ahhhh!
    Je ne veux pas de vexer mais les grand nombre servent à calculer l'univers et non pas à une stupide commission. et... Les plus grands nombres utiles sur terre sont «Million et Millard».

    Et... le «yoctogramme» est une très petite unité de mesure soit 0,000000000000000000000001 gramme. Je pense que, en vériter, c'est le «yottagramme» dont tu voulais parler, soit 1000000000000000000000000 grammes.

    Alors la, je t'ai K-C!!!!

    Posté par vinquoi, 31 décembre 2007 à 19:34 | | Répondre
  • Bon d'accord, tu as raison vinquoi, il est vrai le gogolplex n'est pas un nombre utilisé tres souvent sur terre. Je dirais même jamais dans l'univers entier.

    Posté par El Jj, 16 février 2008 à 18:05 | | Répondre
  • Rerebonjour

    Ah oui, et tu as oublier le nombre «Pter» soit 52!: le nombre de possibilité de jeux de carte et est égale à 8,06581751709439^(10^67).

    Posté par vinquoi, 16 février 2008 à 18:30 | | Répondre
  • Un nombre n'a pas besoin d'être grand pour être surprenant: preuve sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Utilisateur:Sbrunner/Grands_nombres
    Pardon, mais le nombre de Shannon n'est pas plus près de 10^128? Il existe aussi le nombre de parties possibles de go qui est de 10^172.

    Posté par vinquoi, 24 novembre 2008 à 00:48 | | Répondre
  • Ta description du googleplex n'est pas très impressionnante. En supposant que tu l'écrive sans interruption 3 chiffres par seconde, il te faudrait environ 100 Quindécillions d’années pour retranscrire intégralement ce nombre, soit 100 milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards d’années !!!

    Posté par vinquoi, 24 novembre 2008 à 00:53 | | Répondre
  • Bonjour, quelques coquilles (pas de pb pour effacer ça, mais attention à la vraie question après):
    «utilisé pour parlER», «sujetTE à caution» et quelques balises qui ne passent pas.
    Ah, et aussi j’avais essayé de t’envoyer un email…
    Vraie question:
    En lisant la définition de la double flèche de Knuth, je me suis demandé pourquoi on omettait les parenthèses dans une expression du type a^b^c, vu que ^ n’est pas associative (27^3 ≠ 3^27). Aurais-tu des infos là-dessus?
    Manque plus qu’un article sur la fonction d’Ackermann!!!

    Posté par ProfGra, 15 janvier 2014 à 09:45 | | Répondre
    • Je pense qu'il ne s'agit ici que d'une convention, motivée essentielleent par l'écriture "avec exposant" des puissances : pour simplifier "a exposant b exposant c", on ne peut commencer que par "b exposant c".
      Pour ce qui est de la fonction d'Ackermann, je n'ai jamais trouvé l'occasion d'en parler sur ce blog. Ca arrivera surement, mais je ne sais pas quand !

      Posté par El Jj, 15 janvier 2014 à 13:04 | | Répondre
  • J'ai décroché après Knuth. Je retiendrais au moins l'Asamkhyeya (ça se prononce comme ça s'écrit ?)

    Posté par abricot, 24 juin 2007 à 09:10 | | Répondre
  • C'était très intéressant au début mais après il y a eu pleins de calculs et j'ai eu du mal

    Posté par Zetron, 24 juin 2007 à 11:09 | | Répondre
  • Interessant... Le lien des flèches de Conway envoie vers Knuth, par contre

    Posté par Tipierre, 24 juin 2007 à 13:33 | | Répondre
  • Wikipédia propose cette table des noms des puissances de 10, dont tu donnes les quelques premiers. C'est littéralement... vertigineux ! http://fr.wikipedia.org/wiki/Échelles_longue_et_courte#Noms_des_grandes_puissances_de_10

    Posté par Enro, 24 juin 2007 à 13:35 | | Répondre
  • J'applaudis à tout rompre

    Ce billet est magnifiquement écrit.

    Je vous envoie un nombre de Graham de bravos bien mérités.

    Posté par Missmath, 24 juin 2007 à 18:00 | | Répondre
  • Tu as oublié que signaler que a exposant b ça s'écrit abab(vous pouvez remercier abab).
    Abab en propose un nouveau: 10exposant1000, le nombre d'abab. Et non, ça ne sert à rien

    Posté par abab, 24 juin 2007 à 22:25 | | Répondre
  • Ouais, bin moi j'ai encore plus fort, et sans me fatiguer.

    - Mon papa il est aleph-indice-zéro fois plus fort que le tien.

    (bon d'accord, c'est de la triche...)
    (super article, au fait. Un gogol de félicitations ^^)

    Posté par Tût-tûûût, 25 juin 2007 à 14:18 | | Répondre
  • Il y en a un autre je crois (le nombre de Lharnakk si je me souviens):
    "le plus grand nombre que l'on puisse décrire avec des mots".

    Bel article en tout cas.

    Posté par Mich'L, 25 juin 2007 à 20:41 | | Répondre
  • Ouuh ... Tous ces grands nombres ça donne la tête qui tourne ... mais ces notations restent intéressantes, même si elles ne servent pas à grand chose. Je me vois mal aller à l'épicerie et demander : "est-ce que vous pourriez me donner un gogolplex de yoctogrammes de pommes de terre svp ?" (de toute façon, il n'y aurait pas assez d'argent sur terre pour tout payer)

    Je tiens à signaler qu'une petite erreur s'est glissée dans cette note (oui, il faut que je critique, c'est plus fort que moi). Quand tu dis que selon la régle traditionnelle, un trillion c'est 10^9 (= un milliard) et un quatrillion 10^12, ne serait-ce pas plutôt respectivement 10^12 et 10^15 ?

    Posté par Phoenixx, 26 juin 2007 à 21:35 | | Répondre
  • Tût-tûûût > Si tu veux jouer comme ça, je peux dire que mon papa est aleph-indice-un plus fort que le tien, et on en revient au sujet de l'article !

    Mich'L > Le problème du nombre de Lharnakk, c'est qu'il est paradoxal, puisqu'il existe des nombres plus grand que ce nombre, comme "Le nombre de Lharnakk plus un", qui devient alors lui-même le nombre de Lharnakk... ahem...

    Tipierre & Phoenixx > Les deux erreurs sont maintenant réparées !

    Posté par El Jj, 02 juillet 2007 à 18:09 | | Répondre
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