Choux Romanesco, Vache qui rit et Intégrales curviligne tient ses promesse : pas question d'enlever le haut, mais de donner les solutions des trois grands problèmes géométriques antiques. Rappelez-vous de la trisection de l'angle, de la quadrature du cercle et de la duplication du cube, à réaliser uniquement avec un compas et une règle.

La solution est simple : ce n'est pas possible...
Mais si on se donne les moyens, ensemble, tout devient possible, même couper un angle en trois, transformer un cercle en carré ou dupliquer un cube !

La trisection de l'angle
Avec un compas et une règle, rien de plus facile à faire, finalement...
Il suffit de le faire juste avec une règle, sans le compas, en pliant la feuille !

trisecttrisect2

- La droite d forme avec le bord de la feuille l'angle que l'on veut couper en trois.
- On trace ensuite deux bandes de même largeur (quelconque), via le pliage, par exemple.
- A l'aide d'un astucieux pliage, on met le point A sur la droite h1 et le point B sur la droite d
- Il n'y a plus qu'à tracer la droite t (AA'), et la droite qui relie A au point d'intersection entre p et h1.

Il existe également une solution entièrement à la règle et au compas qui permet de couper un angle en trois, mais celle-ci a l'énorme défaut d'être fausse (Mais c'est une bonne approximation)... On peut également résoudre ce problème en utilisant la conchoïde de Nicomède, mais ce n'est pas aisé...

 

La duplication du cube
Celle-ci aussi est résolvable, mais seulement de manière approximative. Comme il a été expliqué la semaine dernière, pour dupliquer un cube, il faut réussir à construire raccub2,  et ce grâce au mésolabe d'Ératosthène (Parce qu'il n'a pas fait qu'un simple crible à nombres premiers).

Le segment AB représente le côté du cube que l'on veut dupliquer. A partir de ce segment, on peut construire le rectangle GKJH, de côté 2.AB.

Ensuite, on place deux points E et C sur le segment [AG].
A partir du point E et H, on construit le premier triangle rectangle EHE2.
Par translation, on construit deux autres triangles rectangles identiques à EHE2 à partir de C et de A.
Ensuite, on appelle L l'intersection [EE2]/[CC3] et M l'intersection [CC2]/[AA3]. Ca devrait ressembler à ça :

M_solabe

Et si, par magie, H, L, M, B et K sont alignés, on aura CM=raccub2.AB (en appliquant le théorème de Thalès), et il n'y aura plus aucun problèmes pour faire le cube à partir du côté CM.
Seulement, il faut  réussir à aligner ces trois points, et ce n'est absolument chose aisée, vous pouvez vous entrainer avec l'applet java ci-là-bas.

La quadrature du cercle
La quadrature du cercle, finalement, c'est très facile à faire, quand on dispose d'une courbe quadratrice (Courbe qui permet de réaliser la quadrature du cercle, comme son nom l'indique). La plus simple des courbes quadratrice, c'est la spirale d'archimède, à construire de façon mécanique. Pour celà, on déplace un point sur une droite à vitesse uniforme, cette droite tournant elle-même autour de l'un de ses points (Équation polaire : r=a.t) Ce genre de spirale est facilement réalisable à l'aide d'un bon vieux tourne disque. la seule chose à faire ensuite est de tracer la tangente à la spirale lorsque celle-ci termine son premier tour (point d'angle polaire 2.pi) :

spirale

Ensuite, grace à ce que vous avez appris la semaine dernière, vous pourrez facilement tracer la longueur OB/OA égale à 2 pi. A partir de là, une simple division par 2, une extraction de racine et le traçage nous offre la quadrature du cercle sur un plateau !

Finalement, toutes ces techniques ne sont que pures tricheries... On avait dit seulement à la règle et au compas, zéro pointé pour ces méthodes mécaniques, approximatives ou origamique...


Sources :
Wikipédia, évidemment, base de l'animation de la trisection de l'angle
DicoMaths, et sa mésolabe
MathCurve et ses histoires de quadratrices