La crique de Dawson

Toutes ces histoires de règle et de compas, c'est bien joli, mais quel est donc le rapport avec la note du 20 juillet sur les allumettes ? Si tout n'était pas aussi bien préparé, j'aurais bien dit qu'il n'y avait aucune raison de parler d'allumettes avant de parler de trisection d'angles, et pourtant, il y en a bien un, même qu'on le doit à T.R. Dawson, qui fait des problèmes d'échecs, mais fait parfois des théorèmes, comme le suivant :

Une construction est possible à la règle et au compas
si et seulement si
Cette construction est réalisable à l'aide uniquement d'allumettes !

En termes plus simple, si vous avez oublié à la fois votre règle et votre compas pour votre contrôle de géométrie, vous pourrez être sauvé si vous avez toujours sur vous une boite d'allumettes (ou une boîte de cure-dents, de bâtons ou n'importe quoi d'autre longiligne et de longueur fixe)

Avant de commencer à approfondir le sujet, comment utilise t'on des allumettes pour faire de la géométrie ? Il y a 4 principes de base :
- (1) S'il y a un point sur la feuille, on peut poser l'allumette sur ce point, ou y mettre son extrémité.
- (2) Avec deux points suffisamment proches l'un de l'autre, on peut poser l'allumette sur les deux points à la fois.
- (3) Si un point est suffisamment proche d'une ligne, on peut poser l'allumette de manière à ce qu'une extrémité soit sur le point et l'autre extrémité sur la ligne.
- (4) Si deux points ne sont pas trop éloignés, on peut poser les allumettes de manière à former un triangle isocèle.

Maintenant, passons aux exercices pratiques, quelques petits exemples les plus simples.

Le milieu...
Deux points quelconques sur la feuille, à vous de dessiner le milieu du segment !
Avant de regarder la réponse, faut d'abord chercher... Je sais, vous n'allez pas le faire, donc voici les réponses en image !
Premier cas : la distance entre les deux points est inférieure à la taille d'une allumette :

Deuxième cas : la distance entre les deux points est égale à la taille d'une allumette :

Et si les deux points sont plus éloignés, c'est également possible, mais un brin plus compliqué, et il faut déjà avoir réussi à disposer une allumette parallèlement à une autre allumette passant par un point donné.

Le carré
Deuxième exercice intéressant avec des allumettes : faire un carré !
La réponse n'est pas évidente, je vous laisse chercher deux seconde avant que votre œil ne soit descendu pour regarder l'image juste en dessous.

Bref, oubliez ce que je vous ai dit la dernière fois : n'achetez pas de compas, une simple boîte d'allumette est suffisant pour tout ce que l'on peut nous demander dans un devoir de géométrie...

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Sources :
Constructions aux allumettes, chez Gérard Villemin
Toutes les autres constructions, applets java en ligne & démonstration du théorème, en anglais.

Comments

[abab]

Dawson c'est une série TV non?

[Whiteshoulders]

Demain, nous verrons avec El Jj comment tracer un cercle avec des rognures d'ongles !