kidpaddle246816

Le raisonnement de Big Bang (L'ami à lunettes de Kid Paddle) a l'air juste : la flèche doit parcourir la moitié du chemin, puis la moitié du reste, et ainsi de suite. Vu qu'elle met toujours un temps non nul pour le faire, elle ne devrait jamais atteindre sa cible. C'est le paradoxe de Zénon.

Et pourtant, la flèche a bien atteint Monsieur Gustin, alors, quelle est l'explication ?... Sans partir dans des histoires physiques de longueur de Planck, l'explication de ce paradoxe est mathématique, et s'explique par la convergence de séries numériques.

Pour faire simple, une série numérique est une somme infinie d'éléments.
Si on considère que la flèche va à une vitesse de 1 m/s et que 1 mètre sépare le pistolet du nez de Mr Gustin, en combien de temps va t'elle atteindre sa cible ?
La flèche parcourt d'abord la moitié, donc 0.5 seconde. Elle parcourt ensuite la moitié du chemin qu'il reste, ce qui représente 0.25 secondes et ainsi de suite.
En découpant le chemin qu'il reste en prenant toujours la moitié, la flèche parcourra le n-ième bout de chemin en 1/2n secondes.
Le temps pour parcourir le mètre est donc représentée par une somme infinie (une série numérique) :
S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... (Avec une infinité de termes)

On peut aussi l'écrire
sigma.

L'argument de Big Bang (ou de Zénon) est de dire que puisque la somme est infini, le résultat sera infini (puisqu'on ne cesse d'ajouter quelque chose). Mais cet argument n'est pas juste, la nombre d'étapes a beau être INFINI, le résultat sera bien FINI (on dit alors que la série est convergente) : en effet, on ajoute toujours des termes, mais les termes que l'on ajoute sont de plus en plus petit.

Et au final, on a S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1, ce qui peut se voir facilement graphiquement : quand on ajoute la moitié du chemin qui reste à faire un nombre infini de fois, on ne va réussir à dépasser le bout du chemin.

Pour aller plus loin, quand on a une série géométrique (pour passer d'une terme à un autre dans la somme, on multiplie par une constante. Dans le cas présent, cette constante (appelée raison) est 0,5), on peut facilement savoir combien vaut la somme, grâce à une formule simple :

seriegeo

(La formule n'a évidement de sens que lorsque que |q|<1, car dans le cas contraire, la formule donne un nombre négatif, ou pire, une division par 0, mais j'y reviendrait prochainement)

Finalement, l'erreur de Big Bang est de penser qu'il est impossible de couper quelque chose de fini un nombre infini de fois...

La semaine prochaine, nous reviendrons sur Kid Paddle vu mathématiquement...