Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes

Que vous le vouliez ou non...

Non, je ne veux absolument pas vous parler de l'existence de la dérivée de la limite de la fonction en intégrant une racine néperienne bi-cubique, ou mais de ce détail qui a fait couler bien plus d'encre, et qui continuera à faire couler beaucoup d'encre : 9,9999... = 10 ! (Et son corollaire : Kid Paddle devrait-il être levé depuis une demie-heure ?)

Si si, je vous assure, la preuve :

o) La démonstration pas très rigoureuse la plus classique de 9,9999999...=10 est celle-ci :
On pose
x=9,9999999...
x/10=0,99999999...
x-x/10=9,0000...
(9/10)x=9
Et donc, x=10, CQFD

Fixons les esprits, qu'entend-t-on exactement par cette notation "...", après cette suite de 9 ? La réponse paraît simple, elle remplace une infinité de 9. Ne pas confondre une infinité et un très grand nombre : s'il y a une infinité de 9, il n'y a rien "après" dans le développement décimal.

Il est vrai : tout nombre peut être écrit en "tous chiffres" : ils admettent toujours un développement décimal. On connaît par exemple π=3,1415825..., avec son infinité de chiffres après la virgule, ou 1/3=0,3333..., qui répète toujours la même décimale. Le hic, c'est qu'il arrive parfois qu'un même nombre admette deux écritures différentes. le nombre 10 est dans ce cas : il peut être écrit

10 = 10,000000000000000...
ou
10 = 9,9999999999999999...

C'est contre intuitif, il est vrai, mais c'est un fait ! Mais en bon mathématicien, il est de bon aloi de le démontrer.

o) Puisque tout le monde admet que 1/3 = 0,3333333..., on peut l'utiliser pour la démonstration :
10/3=3,33333333...
<=> 10/3 × 3 =3,33333333... × 3
<=> 10 = 9,999999... CQFD

o) Mais la démonstration la plus simple réside dans la propriété archimédienne de l'ensemble des nombres réels :
Deux nombres sont différents si et seulement si Il existe un troisième nombre différent des deux premiers entre les deux
Il est clair qu'il n'existe aucun nombre entre 10 et 9,9999..., il sont donc bien égaux !

o) Mais tout ça n'est pas encore tout à fait formel ! Pour avoir une bonne démonstration, il est obligatoire de passer par les limites. Profitons tout de même du fait que l'on a découvert l'existence des séries géométriques la semaine dernière.
La définition que l'on donne à nos points de suspension est la suivante :

Puisque c'est une suite géométrique de raison (1/10)<1, elle est convergente. On a donc l'égalité :

(Et je vous passe la démonstration avec des epsilons)

Moralité : 10=9,999999..., grâce à la magie du développement décimal et de la grosse erreur qu'on nos cerveau à penser l'infini comme étant quelque chose de fini.

Par contre, pour savoir si Kid Paddle devrait être réveillé depuis une bonne demi-heure, il faudrait connaître la l'accélération de la vitesse à laquelle Kid compte mentalement. Si il ajoute une décimale par seconde, il est clair qu'en une demie-heure, il n'a atteint que 107990 décimales, ce qui est bien loin de l'infinité. Par contre, si il les compte de plus en plus vite et qu'il a un cerveau plus que quantique, il aurait peut-être déjà du se lever...