Dernier volet de ce chapitre sur les séries, avec un joyeux capharnaüm de choses que je voulais dire à propos de séries... (Cette note est plus ou moins indigeste, au moins pour la deuxième partie...)

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Revenons sur cette chère série géométrique 1/2+1/4+1/16+..., avec une petite preuve simple du fait qu'elle est bien égale à 1 :
x = 1/2 + 1/4 + 1/16 + 1/32 + ...
2x = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/16 + 1/32 + ...
=> 2x-x=1 => x=1

Que se passe t-il si on fait la même chose avec une série géométrique à raison supérieure à 1 ?... Suspens...
x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...
2x = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + ...
2x-x=-1 => x = -1
Et oui, 1+2+4+8+16+32+... = -1 !

Et le premier qui est pas d'accord là dessus aura raison ! 1+2+4+8+... n'est pas une somme convergente, elle est plutôt égale à l'infini. On ne peut pas faire de manipulations de ce type avec des choses non convergente, puisque ça revient à faire des soustractions entre des infinis, ce qui est loin d'être très malin...
Enfin, si vous pensez que 1+2+4+8+16+... est égal à quelque chose, il va falloir vous résigner à dire que c'est égal à -1...

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Petite question simple : à votre avis, la série harmonique est-elle convergente ou divergente ?  (c'est à dire, 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... est-il égal à quelque chose ? )
On note classiquement Hn la n-ième somme partielle de la série harmonique, c'est à dire :

harmonique

On peut alors calculer les sommes partielles :
H1=1
H2=1,5
H3=1,8333333...
H4=2,0833333...
H10=2,9289682...
H15=3,3182289...
H20=3,5977396...

A la voir comme ça, on peut facilement se dire que cette série est convergente : on ajoute à chaque fois de moins en moins de chose, la somme semble stagner...
Et pourtant, la réalité est bien différente : la série est divergente, c'est juste qu'elle prend son temps pour grimper...

H100=5,187377518...
H1 000= 7,485470861...
H10 000=9,787606036...
H100 000=12,09014613...

Une étude encore plus poussé montre quelque chose de très intéressant : les suites Hn (qui diverge) et ln(n)  (qui diverge aussi) sont très proches, à la constante d'Euler près. En effet, ln(n)-Hn tend vers une constante (appelée constante d'Euler-Mascheroni) :

const_euler
const_euler2

En tout cas, si Hn et ln(n) sont si proches, celà permet d'aller encore plus loin dans les choses que l'on peut faire avec la série harmonique...

(A noter que même si c'était déjà compliqué jusqu'à ici, ça devrait l'être encore plus à partir de maintenant)

On peut écrire ça comme ça :
Hn = ln(n) + γ + εn (εn étant une suite inconnu qui tend vers 0 en l'infini)

Considérons la série harmonique alternée Sn :

harmo_altern

Cette série est convergente (je vous l'assure, d'après le critère de convergence des séries alternée), mais pas absolument convergente (quand on prend la valeur absolue de chaque termes de la série, on retrouve la série harmonique, qui ne converge pas)

Et maintenant, amusons nous :
Sn = -1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + ... + (-1)n/n
S2n= -1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + ................. + 1/2n
H2n= 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ................. + 1/2n

S2n + H2n = 2 . 1/2 + 2 . 1/4 + 2 . 1/6 +......... + 2 . 1/2n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n = Hn
Bref, S2n =  Hn - H2n

En revenant à nos histoires de limites vues un peu plus haut, on trouve que :
S2n =  Hn - H2n = ln(n) + γ + εn - ln(2n) - γ - ε2n
        = -ln(2) + εn - ε2n
Et donc, la limite de S2n (qui est la même que celle de Sn) est -ln(2)

limite_harmoalter

Maintenant, soyons des gens rebels, et changeons l'ordre des termes dans la somme ! C'est vrai, quoi, pourquoi fait t-on toujours +-+-+-+-, alors que l'on pourrait faire ++-++-++-++- ?...

Je pose donc poser ceci :

sigmaaltern
(Avec n termes en tout)

(Le petit sigma à côté du S, c'est pour indiquer qu'il y a eu une permutation des termes)
Quand on compare cette série avec Sn, on remarque que tous les termes sont identiques, seules leurs places ont changé.

Maintenant, on peut faire de chouettes calculs :

sigmaetcie

Conclusion de ce gros calcul :

lim1
lim2

En gros, en changeant simplement l'ordre des termes dans la somme, on a réussit à en changer sa limite !
La morale de cette histoire est donc celle-ci : Il ne faut pas faire n'importe quoi avec les séries non absolument convergente, puisqu'elles ne sont pas commutative !

(Et encore, je ne vous ai pas fait le coup de la permutation des termes qui rend la série divergente, parce que je suis déjà allé trop loin dans les limites de ce blog !)


Sources : Mon cours de séries de fonctions...