Comment obtenir un prix Nobel quand on fait seulement des mathématiques ? En théorie, c'est impossible, puisque Mr Nobel n'a pas jugé bon de faire un prix Nobel de mathématiques, sa femme ayant trop flirté avec un mathématicien (selon la légende, la vérité est incertaine, mais on pense que cela vient du fait que Nobel trouvait les maths trop théorique, et ne pouvant pas aider à faire avancer le monde). Il y a bien la médaille Field ou le prix Abel pour récompensé les chercheurs en maths, mais ce n'est pas le prestige Nobel... Heureusement, certains ont trouvé la combine : le prix Nobel d'économie !
Cette année, le prix Nobel d'économie va être remis à Hurwicz, Maskin et Myerson, trois américains, pour leur travaux sur la théorie des jeux. (parce que ça permet de modéliser des histoires de marchés...)

La théorie des jeux, quesaquo ? C'est simplement une approche mathématiques des problèmes de stratégies. Elle a autant d'utilité dans la lutte contre le terrorisme, dans une campagne politique ou dans le jeu des boîtes d'Arthur... La théorie des jeux permet de définir quelles sont les meilleures stratégies à suivre dans des "jeux".

Voici deux petits exemples pour illustrer le type de problèmes étudiés dans le cadre de cette théorie.

Le dilemme du prisonnier
L'exemple phare est le problème du dilemme du prisonnier :
Sur un braquage à main armé, deux suspects sont arrêtés par la police, qui ont alors deux choix : ils peuvent choisir de se taire ou alors, dénoncer leur camarade de jeu.
* Si les deux suspects se dénoncent l'un l'autre, chacun en prendra pour 5 ans de prison
* Si l'un dénonce et que l'autre se tait, celui qui se tait aura 10 ans de prison, et l'autre sera relâché
* Si les deux choisissent de se taire, dans le doute, les deux auront 1 an de prison

 

D'un point de vue extérieure, le meilleur choix pour tout le monde serait de se taire, mais les points de vue des joueurs ne sont pas les mêmes.
Si le joueur A choisit de dénoncer B :
    Si B se tait, il est relâché
    Si B parle, il n'écope que de 5 ans de prison
Si le joueur A choisit de se taire :
    Si B se tait, il ne prendra que 1 an de prison
    Si B parle, il prendra 10 ans de prison
Le choix rationnel est donc vite fait ; le meilleur choix pour A est de parler. La même chose pour B, et finalement, les deux s'en sortiront avec 5 ans de prison, alors qu'il aurait été bien plus malin de se taire.

 

Même si coopérer permet d'avoir de meilleurs résultat, la stratégie égoïste est toujours la plus payante...

 

Le problème du truel
(Comme un duel, mais avec trois personnes)
Un autre exemple beaucoup moins classique est celui du problème du truel. Trois comparses ont un différend à régler, et le font au pistolet. Seulement, les trois ne sont pas tous aussi doués au pistolet. Alfredo est mauvais tireur : il ne touche qu'une cible sur 3. Benito est un peu meilleur, et touche une cible sur 2. Luc Lachance est quant à lui un as de la gâchette, et ne manque aucun coup. Pour mettre plus de piment au truel, il est décidé que Alfredo tirerait en premier, puis Benito, puis Luc, et on recommence avec les vivants.
La question est donc celle-ci : vers qui Alfredo a intérêt à tirer en premier pour maximiser ses chances de survie ?
...
(Je vous laisse le temps de la réflexion)
...
Alfredo a deux solutions :
S'il choisit de tirer sur Benito et qu'il atteint sa cible, il signe son arrêt de mort, puisque c'est alors à Luc de tirer.
S'il choisit de tirer sur Luc et qu'il atteint sa cible, il se retrouve en duel contre Benito, qui aura le privilège de tirer en premier, ce qui n'est pas la meilleur chose qui puisse arriver lors d'un duel.
...
Finalement, la meilleure chose à faire pour Alfredo est celle-ci : tirer en l'air. Ca sera alors à Benito de tirer, qui n'aura pas vraiment le choix, et tirera vers Luc. Si Benito tue Luc, Alfredo se retrouve en duel, et peut tirer en premier. Si Benito rate Luc, Luc se chargera de Benito qui est la menace la plus importante, et aura alors une chance sur trois de survivre.

 

Et si j'ai le courage d'essayer de comprendre ce qu'est un équilibre de Nash, je reparlerai peut-être un jour de théorie des jeux !...