Le nombre d'or ! 1,618 033 et des poussières, que l'on retrouverait dans l'architecture, la nature et tout ce qui est beau sur notre bonne vieille Terre.
La suite de Fibonacci ! 0,1,1,2,3,5,8,13,..., suite que l'on retrouve miraculeusement dans la nature, ses liens étroits avec le nombre d'or (le rapport de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci tend vers le nombre d'or)
Il est tant de détruire toute les mystifications qui peuvent roder autour de ce nombre et de cette suite !

(A noter que cet article a été essentiellement conçue pour que je mette toutes les démo nécéssaires à la compréhension totale de cette note, et n'est peut-être pas tout à fait faite pour être lue...)


La suite de Fibonacci, rappellons-le, est cette suite :
F(0)=0
F(1)=1
F(n+2)=F(n+1)+F(n)

Ce n'est qu'un cas particulier des suites récurrentes linéaires d'ordre 2, c'est à dire, les suites de type :
U(n+2)=a.U(n+1)+b.U(n)  (R)
(Avec a et b fixés, b de préférence non nul. Pour les besoins de la suite de cette note, a et b seront tous les deux positifs. C'est en fait une première généralisation des suites géométriques chères aux lycéens.)
Maintenant, ce qui serait parfait, ça serait de connaître le terme général de telles suites. Mon petit doigt (*) me dit qu'une suite de la forme unegrnpourrait remplir parfaitement le rôle.
verspoly
r est donc une racine du polynôme du second degré X²-aX-b.
Son discriminant est a²+4b, positif, donc nos deux racines sont distinctes et réelles :

racines

On peut remarquer que si deux suite un et vn vérifient la relation (R), toute combinaisons linéaires (λ.un+µ.vn) de ces deux suites fonctionneront.

Donc, une suite correspondant à la relation (R) et de type : casgen

Maintenant, il n'y a plus qu'à trouver les coefficients λ et µ, que l'on peut trouver quand on connait les deux premiers termes de la suite qui nous intéresse.
Histoire de généraliser la suite de Fibonacci, on peut prendre u0=0 et u1=1.

solution

Bref,

formule_fibo_gen

Avec a=b=1, on retrouve l'expression générale de la suite de Fibonacci (appelée formule de Binet), qui fait intervenir le nombre d'or (racine positive de X²-X-1) :

formule_fibo


Deuxième mystère à résoudre : pourquoi donc le rapport de deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci tendent vers le nombre d'or ? Et bien, c'est pas trop compliqué à montrer :

tendvers
(car r2<r1)

En prenant la suite de Fibonacci (a=b=1), on se retrouve sans problèmes avec le nombre d'or !


Il est tant de venir au cœur du problème : la suite de Fibonacci, le nombre 89 et les séries de Jj !

En effet, ma surprise fut énorme lorsqu'au gré de mes pérégrinations sur internet, je suis tombé sur ce résultat surprenant :

Serie_Jj_11

J'aurai pu en rester là, mais comme je suis né en 87 et non en 89, ce résultat ne me plaisait pas. Après avoir un peut tourné autour, j'ai trouvé qu'en changeant dans la formule la suite de Fibonacci par la suite de Fibonacci généralisée de paramètre a=1 et b=3, on tombait sur 1/87.
Et pour les gens nés en 86 ? pour ceux nés en 36 ? Et pour tous les autres ? Peut-on trouver une suite de Fibonacci généralisée qui fonctionne pour qui veut essayer ? Voilà pourquoi j'ai dû créer les séries de Jj !

Les séries de Jj, nommées ainsi en mon honneur (parce que j'ai passé une soirée dessus, et que j'ai pas vraiment cherché à savoir si quelqu'un avant moi avait déjà passé une soirée dessus) est cette série :

Serie_J

Mais ne vous avisez pas de prendre n'importe quel a et b, il faut se limiter aux cas 0≤a≤9 , 0≤b≤9.

* Démonstration du résultat :
demoA
* Pour démontrer que la série converge bien, rien ne vaut le critère d'Alembert :
La série converge ssi dalemb
dalemb2
Ce qui donne b<100-10a, qui correspond bien à 0≤a≤9 , 0≤b≤9.


La semaine prochaine, promis, un véritable article !

* Mon petit doigt : Wikipédia