Une célèbre énigme de maths récréative dit ceci :
" Complétez cette suite : 1, 11, 21, 1211, ... "

Et la personne maligne (enfin, celle qui connaissait déjà la réponse, c'est pas du tout évident de trouver tout seul) répondra :
"111221, 312211, ... "

Cette suite, c'est la suite "look and say", alias suite autoréférence, désintégration audioactive ou suite de Conway. Son principe est simple : il suffit de lire chaque nombre chiffres par chiffres, c'est à dire :
1 : on lit un '1' -> 11
11 : on lit deux '1' -> 21
21 : on lit un '2', un '1' -> 12 11
1211 : on lit un '1', un '2', deux '1' -> 11 12 21
etc.

Cette suite a été inventé par Conway, le même à qui l'on doit la notation fléchée des grands nombres ou le jeu de la vie.

Et on pourrait s'arrêter là...
Mais nan, parce qu'en bon matheux que nous sommes (enfin, moi... Enfin, ceux qui ont pris beaucoup de peine à s'y intéresser), il y a plein de questions à se poser !
- Les 1, 2 et 3, c'est sympa... Mais ya des 4 ?
- Y a t'il des motifs sympa ?
- Elle grandit vite, cette suite ?
- Et sinon ?

Les 1, 2 et 3, c'est sympa... Mais ya des 4 ?
Non !
Pour qu'un 4 apparaisse, il faudrait qu'un élément apparaisse 4 fois de suite, ce qui est loin d'être possible (que chacun y réfléchisse)

Y a t'il des motifs sympa ?
Bien sûr que oui, sinon, Conway ne l'aurait jamais inventé ! Il existe des motifs stables !
Par exemple, si on commence la suite par 3, les termes suivants seront 13, 1113, 3113, 132113, etc..
On remarque que à partir de 1113, les nombres termineront systématiquement par 113 (puisqu'ils terminent tous par n1 13), le 113 serait donc quelque chose de stable.
Plus fort encore, si on part de 2.13211 (le point est (presque) pour faire joli), on aura :
12.11131221
1112.3113112211
3112.13211.3212221
à gauche du point, on terminera toujours pas un 2;
à droite du point, cela alternera entre 13..., 1113..., 3113... et 13211...;
autrement dit, c'est cyclique et commence toujours par 1 : la partie gauche ne pourra jamais intervenir sur la partie droite.
L'idée est là : dans la suite, certains morceaux n'agissent jamais avec leur homologues d'à-côté, formant des petits groupes évoluant les uns à côté des autres.
Et pourtant, la suite grandit indéfiniement, si il n'y avait qu'un nombre fini de "petits groupes", ça serait génial, nan ?
Et bien, ça l'est, génial, puisqu'il y a précisément 92 "petits groupes", appelés "atomes", en l'honneur des atomes, ces particules de matières indivisibles (du moins, étymologiquement parlant). Puisqu'il existe 94 éléments chimiques non artificiels, le lien entre les deux est tout de suite trouvé !
Ainsi, les atomes de Conway ont tous leur petit : 13211, par exemple, porte le nom d'étain, et se transforme en Indium (11131221)
Si on prend le cas du Samarium (311332), on s'aperçoit qu'il se divise en trois atomes : 1321.12.312 (Prométhium, Calcium et Zinc)
Vous pouvez retrouver les 92 atomes ici.

Tous ces atomes se réincarnent en un ou plusieurs autres atomes selon un processus très précis, que l'on peut joliment résumer comme ça :

conway92

Si on part de l'atome #92 Uranium (séquence "3"), on verra au cours des 91 séquences suivantes au moins une fois chaque atome ! La suite commençant par 3 est LA véritable suite de Conway, LA suite de désintégration audioactive !

 

 

Elle grandit vite, cette suite ?
Sûr !
Si on prend un nombre de la suite, le nombre qui suivra aura approximativement 1,303 577 269... fois plus de chiffres ! Ce nombre, 1,303..., est le nombre de Conway (il a tout fait sur le sujet...), et est l'unique racine de ce joli polynôme (ne me demandez pas à quoi il correspond, je n'en sais rien... )

polynomeconway

Le plus fort la dedans, c'est que cette constante est indépendante du premier terme de la suite, que l'on démarre par "1" ou par "123132131123" (sauf si on commence par "22")!

Cela permet d'avoir après 34 itération une séquence de 11420 chiffres !

Et sinon ?
Et sinon, ben on peut s'amuser avec d'autres suites du même genre, comme la suite "look-and-say" infinie, qui se lit elle-même, en commençant par un 3 :
3, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, ...
Les adeptes des fractales ou du chaos apprécieront...

Les plus artiste s'amuseront à mettre les différents termes de la suite en image : si c'est 1, je vais tout droit, si c'est 2, je tourne à droite, si c'est 3, je vais à gauche... Et ça donne de très chouettes résultats !

Etape 32 :
autoref32

Étape 33 :
autoref33

Tant que ya des idées, ya des tas de choses à faire en maths...


Sources :
Henry Bottomley's home page, avec son tableau, son applet javascript et son graphique ©Mario Hilgemeier