"Et si le 9 était notre matrice?..."
Non, je n'ai rien contre TF1... A moins que...


Phenoménal ! (Table de 9)
envoyé par El_Jj

"Les tables de multiplications, c'est un cauchemar", "Ca vous parait obscur, normal, c'est des maths"... Passons... Je passe également sur leur notion de "preuve" plutôt empirique.

Pas de note anti-Jean-Luc Reichmann, j'en ai déjà fait une, c'est juste un moyen détourné de parler des petits trucs que vous connaissez peut-être déjà : les critères de divisibilités !
Ca sert toujours, même si ils ont tendance à ne pas nous donner le résultat de la division.

Mais histoire d'avoir une petite prétention mathématique, je vais donner quelques preuves pas forcément rigoureuses, mais compréhensibles. Les seules choses intuitives à savoir, c'est que un nombre de la forme k×n est toujours divisible par k (c'est même sa définition), et que k×n+r est divisible par k seulement si r est aussi divisible par k.

Divisibilité par 9
:
16623 : 1+6+6+2+3=18, 1+8=9 -> 16623 est divisible par 9
1425 : 1+4+2+5=12, 1+2=3 -> 1525 n'est pas divisible par 9
Un nombre est divisible par 9 ssi la somme de chiffres est divisible par 9.

Pour voir d'où vient ce prodige digne de Matrix, il suffit de décomposer les nombre en somme de puissance de 10, et quelques petits développements/factorisations suffisent :
16623 = 1×10000 + 6×1000 + 6×100 + 2×10 + 3
= 1×(9999+1) + 6×(999+1) + 6×(99+1) + 2×(9+1) + 3
= [1×9999 + 6×999 + 6×99 + 2×9] + [1+6+6+2+3]
= 9[1×1111 + 6×111 + 6×11 + 2×1] + [1+6+6+2+3]
Les crochets de gauche étant sous la forme 9X, c'est divisible par 9. Il faut donc que la somme de droite soit divisible par 9 pour que cela fonctionne.

On peut aussi expliquer ce prodige en remarquant que quand on ajoute 9 à un nombre (qui ne finit pas par 0), on au joute 1 aux nombre de dizaines et ou soustrait 1 au chiffre des unités. Si ça se termine par un 0, on le change juste en 9.
Puisque la somme des chiffres de 9 est égale à 9, la somme des chiffres reste donc toujours égale à 9. (Et hop, la belle preuve par récurrence)

Divisibilité par 3
:
16623 : 1+6+6+2+3=18, 1+8=9 -> 16623 est divisible par 3
1425 : 1+4+2+5=12, 1+2=3 -> 1525 est divisible par 3
Un nombre est divisible par 3 ssi la somme de chiffres est divisible par 3.
(Que l'on trouve 0, 3, 6 ou 9 à la fin)

Pour voir d'où vient ce prodige digne de Matrix Revolutions, il suffit juste de comprendre le semblant d'explication pour le critère de divisibilité par 9, celui par 3 fonctionne pareil.

Divisibilité par 2, par 5 ou par 10

Un nombre est divisible par 2 ssi il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8
Un nombre est divisible par 5 ssi il se termine par 0, ou 5
Un nombre est divisible par 10 ssi il se termine par 0

Celles-là, si vous ne les connaissiez pas, je me demande comment vous avez fait pour lire cet article jusqu'à ici...

D'où vient ce prodige digne de Matrix Reloaded ? Il suffit de couper son nombre en 2 : d'un côté le chiffre des unités (u), et de l'autre, ben, le reste (r). Le nombre sera alors de la forme 10r+u. Puisque 10 est divisible par 2, 10r est divisible par 2, et il nous faut donc u, le nombre des unités, divisible par 2 : les seules possibilités sont 0, 2, 4, 6 ou8.

Et ça marche pareil avec 5 et 10

A noter quand même que le critère de divisibilité par 10 est la réunion du critère de divisibilité par 2 et par 5 !

Divisibilité par 4, par 25 ou par 100 :
Un nombre est divisible par 25 ssi il se termine par 00, 25, 50 ou 75.
Un nombre est divisible par 4 ssi il se termine par 00, 04, 08, 12, 16, ..., 96
(Que ses deux derniers chiffres sont divisibles par 4)
Un nombre est divisible par 100 ssi il se termine par 00

D'où vient se prodige digne de Matrix Reverse (Qui n'est pas sorti, c'est dire à quel point c'est prodigieux) ? Il suffit juste de reprendre ce qu a été dit juste au dessus, en remplaçant 10 par 100 et 2 par 4 ou par 25...

On généralise facilement pour trouver un critère de divisibilité par 8, 16, 100, 125, 625, 1000... :
Un nombre est divisible par 2n ssi ses n derniers chiffres sont divisibles par 2n.
Un nombre est divisible par 5n ssi ses n derniers chiffres sont divisibles par 5n.
Un nombre est divisible par 10n ssi il se termine par n zéros

Divisibilité par 11 :
154915145 -> +1-5+4-9+1-5+1-4+5 = -11 -> 154915145 est divisible par 11
123456789 -> +1-2+3-4+5-6+7-8+9 = 5 -> 123456789 n'est pas divisible par 11
Un nombre est divisible par 11 ssi la différence entre la somme des chiffres de rangs pair et la somme de ceux de rangs impair est divisible par 11.
(Dans la pratique, on regarde ce qu'il se passe en intercalant des + et des - entre tous les chiffres)

D'où vient ce prodige digne de Matrix fait du ski ? On fait la classique décomposition de notre nombre en somme de puissance de 10, et après, il faut remarquer quelques petites choses :
* 100-1 = 99 = 11×9
10000-1 = 9999 = 1111×9
Et ainsi de suite, tout nombre de la forme 102n-1 est divisible par 11.
* 10+1 = 11×1
1000+1 = 11×91
Tout nombre de la forme 102n+1+1 est divisible par 11
(Car 102n+1+1 = 10.102n+1 = 10.(102n-1+1)+1 =10.(102n-1)+10+1 = 10.11k+11)
* En prenant par exemple un nombre à 6 chiffres de la forme abcdef, on a :
abcde= a×10000 + b×1000 + c×100 + d×10 + e
= a×(9999+1) + b×(1001-1) + c×(99+1) + d×(11-1) + e
= [9999a+1001b+99c+11d] + [a-b+c-d+e]
Les crochets de gauche donnent quelque chose de divisible par 11, il faut donc nécessairement la divisibilité à droite !

Divisibilité par 6, par 12, par 15... :
Un nombre est divisible par 6 s'il est divisible par 2 et par 3. (et ses critères associés)
Un nombre est divisible par 12 s'il est divisible par 3 et par 4.
Un nombre est divisible par 15 s'il est divisible par 3 et par 5.

Si n et p sont des nombres premiers entre eux (que la fraction n/p est irréductible), le critère de divisibilité par n×p sera l'association du critère de divisibilité par n et de celui par p.
Cela nous donne facilement des critères pour la divisibilité par 18, 22, 30, 33...

Avec tout ça, on peut facilement savoir si un nombre est divisible par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11... De quoi savoir facilement si un nombre inférieur à 100 est premier, en testant la divisibilité par 2, 3 et 5 (Les seules exceptions étant 49=7×7 et 91=7×13)
Il nous manquerait juste un critère de divisibilité par 7...

Critère de divisibilité par 7
36491 :
3649-2×1=3647
364-2×7=350
35-2×0=35
3-2×5=-7
-> 36491 est divisible par 7

Un nombre est divisible par 7 ssi "nombre de dizaines"-2×"chiffre des unités" est divisible par 7

(Critère totalement inutilisable pour des nombres longs, heureusement, il y en a d'autre)

1 507 985 948 :
+1-507+985-948 = -469 (= -67×7)

-> 1 507 985 948 est divisible par 7

Un nombre est divisible par 7 ssi, après avoir séparé les chiffres par groupes de 3 et intercalé des + et des -, on trouve un multiple de 7.

Dans la pratique, on réserve le premier critère pour savoir si le résultat des opérations issu du deuxième critère est divisible ou non par 7.

Quel est ce prodige digne de Matrix chez les ch'tis ?
Le deuxième critère reprend la démonstration du critère de divisibilité par 11
Le premier critère est déjà plus tordu, et se démontre rapidement en utilisant des modulos (mais je vais pas le faire, désolé)

Bref, maintenant, vous connaissez parfaitement tous les critères de divisibilité !...
Et vous savez que TF1 est une chaîne totalement stupide...


Sources :
Wikipédia (pour avoir aussi le critère de divisibilité par 3n, 17, 19, 23, 31, 37 etc.)