Continuons ce petit voyage parmi les nombres premiers, terrain d'aventure et de mystère s'il en est, ou les conjectures les plus simples croisent les théorèmes les plus tordus, où l'on croise des jumeaux, des cousins, des sexy ou des médailles Fields !

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Les nombres premiers - Les nombres premiers jumeaux
Les nombres premiers cousins - Les nombres premiers sexy

Les nombres premiers jumeaux
Les nombres premiers, on le sait depuis Euclide, sont en nombre infini. Donc, beaucoup trop présent ! Les nombres premiers jumeaux, par contre, sont déjà plus rare.
Un couple de nombre premiers est dit "jumeaux" s'ils sont séparés de 2. Par exemple, (3,5), (5,7), (11,13) ou (17,19) sont des couples de nombres premiers jumeaux.
Comme les nombres premiers, y a t'il un nombre infini de nombres premiers jumeaux ? Grande question, la réponse attend toujours !
Le plus grand couple de jumeaux connu est actuellement 2003663613 × 2195000±1.

A propos de ce problèmes, quelques résultats sont déjà connus, notamment celui de la constante de Brun, quelque peu décevante. La constante de Brun est le nombre B2=1,9021605825..., celui ci est égal à la somme (infinie ?) suivante :

Brun

(S'il y a un nombre fini de nombres premiers jumeaux, c'est évident que cette somme est finie ; Dans le cas où ils sont en nombre infinis, cela veut dire que les paires de jumeaux sont de plus en plus espacées, que l'on ajoute à la somme quelque chose de toujours plus petit)

Pourquoi décevante ? Parce que l'on sait d'un autre côté que la somme des inverses des nombres premiers, quand à elle, diverge (est égale à +∞):

inverse_premiers

Si on avait trouvé que la série des inverses des nombres premiers jumeaux était divergente, on pouvait tout de suite conclure à son infinité... Mais ce n'est pas le cas, et c'est bien dommage !

Les nombres premiers cousins et sexy
Pourquoi séparer les premiers par 2, et pas par 4 ou 6 ? C'est ainsi que sont nés les nombres premiers cousins et les nombres premiers sexy.
Un couple de nombres premiers cousins est un couple de premiers de la forme (p, p+4), un couple de nombres premiers sexy est de la forme (p, p+6) (Et tient son nom du latin "sex" qui signifie 6...)

Les premiers cousins sont (3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), les premiers sexy sont (5,11), (7,13), (11,17), (13,19), (17,23), (23,29), (31,37), (37,43). Tout comme pour les nombres premiers jumeaux, on ne sait pas dire s'ils sont ou pas en nombre infinis ; les plus grands nombres premiers sexy connus comptent tout de même 10154 chiffres !
La conjecture de Polignac, qui généralise la conjecture des premiers jumeaux, prétend que pour n'importe quel k pair, il existe une infinités de couples de nombres premiers de la forme (p, p+k). On attend aussi une démonstration pour cette conjecture !

Ce qu'il y a d'intéressant avec les nombres premiers sexy, c'est que non seulement, ils forment des couples, mais également des  triplets ou des quadruplets.  Par exemple, (5,11,17,23) est un quadruplet sexy ! Ce qui est dommage dans cet exemple, c'est qu'il y a le nombre 7, premier, qui se ballade entre 5 et 11. Le plus fort serait de trouver un quadruplet (p, p+6, p+12, p+18) tels que p+2, p+4, p+8 etc. ne soient pas premiers. De tels quadruplets existent, comme par exemple (487, 491, 499, 503). Évidement, on ne sait pas s'ils sont en nombre infini.

Pour un motif donné de "saut", on parle de constellations de nombres premiers ! (487, 491, 499, 503) est une constellation de motif 6-6-6. Pour parler de constellation, il ne faut pas que d'autres nombres premiers se glissent au milieu de la suite. Le principal but est de chercher à minimiser la différence entre le premier et le dernier terme de la suite.
Une autre conjecture sur les nombres premiers (la conjecture des constellations - ou première conjecture de Hardy-Littlewood) prétend que pour n'importe quel motif de constellation admissible (par exemple, (p,p+2,p+4) n'est pas admissible, car l'un de ces trois nombre sera divisible par 3), il existe une infinité de constellations. Cette conjecture est bien plus puissante que celle de Polignac !

S'il y a une première conjecture de Hardy-Littlewood, il y en a une deuxième !

Celle-ci dit que le nombre de nombres premiers en x et x+y est plus petit que le nombre de nombres premières inférieurs à y. En notant π(x) le nombre de nombres premiers inférieurs à x, cette seconde conjecture se résume par π(x+y)-π(x) ≤ π(y).

Et c'est là que le hic arrive : ces deux conjectures sont incompatibles ! Si l'une est vraie, l'autre ne le sera pas ! (A moins que les deux ne soient fausses...)

Le théorème de la progression arithmétique
Mais dans ces histoires, il n'y a pas que des conjectures, il ya a aussi des choses bien démontrées !
Par exemple, on sait qu'il existe un nombre infini de nombres premiers ! (C'est déjà pas mal, comme résultat, ça !...)

Et si on prenait une suite arithmétique ? Pour obtenir une suite arithmétique, on part d'un nombre donné, et on ajoute toujours le même nombre (appelé la raison). Par exemple, la suite des entiers impairs 1, 3, 5, 7, 9, ... est une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.
Depuis Legendre (fin du XVIIIe siècle), on sait que dans n'importe quelle suite arithmétique, il existe un nombre infini de nombre premiers ! (Enfin, seulement quand le premier terme de la suite et la raison son premier entre eux, c'est à dire, n'ont pas de diviseurs communs). Cela permet de dire par exemple que parmi les nombres impairs, il y a une infinité de nombres premiers (bon, en fait, excepté 2, TOUS les nombres premiers sont impairs...)
Autre exemple : premier terme 5, raison 7 : 5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68,  75, ... Cette suite contient une infinité de nombres premiers ! A ce propos, suivant le premier terme de la suite choisi, on aura soit 0 ou 1 nombre premier (si le premier terme et la raison ont un diviseur commun), soit une infinité de nombre premier. Ce qui reste étonnant, c'est que dans ce deuxième cas, il y aura a peu près la même proportion de nombres premiers dans chaque sous-suite !
Petit exemple pour comprendre, avec la raison 6. Il y a une infinité de premiers lorsque le premier terme est 1 ou 5, et la proportion de premiers est à peu près la même dans ces deux suites :
0 -  6 - 12 - 18 - 24 - 30 - 36 - 42 - 48 - 54 - 60 - 66 - 72
1 -  7 - 13 - 19 - 25 - 31 - 37 - 43 - 49 - 55 - 61 - 67 - 73 -> 61%
2 -  8 - 14 - 20 - 26 - 32 - 38 - 44 - 50 - 56 - 62 - 68 - 74
3 -  9 - 15 - 21 - 27 - 33 - 39 - 45 - 51 - 57 - 63 - 69 - 75
4 - 10 - 16 - 22 - 28 - 34 - 40 - 46 - 52 - 58 - 64 - 70 - 76
5 - 11 - 17 - 23 - 29 - 35 - 41 - 47 - 53 - 59 - 65  - 71 - 77 -> 69%

En fait, ce résultat à propos de la proportion des nombres premiers pertmet de se dire que les nombres premiers ne sont pas si mal rangés que ça !

Le théorème de Green-Tao
Tout ça pour en arriver au théorème de Green-Tao, qui date de 2004, et qui a valu à Tao la médaille Field (le prix Nobel des maths) en 2006.

(5,11,17,23,29) est une suite arithmétique (de raison 6) de longueur 5 composée seulement de nombres premiers.
Mais peut-on trouver une telle suite, disons, de longueur 6 ?... Oui !
On a par exemple (7,37,67,97,127,157), de raison 30 et de longueur 6 !
Et si on se fixe pour longueur 25 ?

Bien sûr, on met un peut plus de temps dans la recherche, mais avec du courage, on trouve que la suite (6171054912832631 + 81737658082080 × n | 0≤n≤24) (Plus longue suite arithmétique de nombres premiers connue, trouvée en 2008)

Ce que Green et Tao ont démontré, c'est que pour n'importe quelle longueur fixée, il est possible de trouver une suite arithmétique de nombres premiers de cette longueur. Le moins de l'histoire, c'est qu'il ne dit pas comment la trouver !


Sources :
Du wikipédia et du mathworld, mais aussi :
Recherche de constellations de nombres premiers
Records de progressions arithmétiques