Quelle est la longueur du littoral Breton ? (Avouez, vous ne vous êtes encore jamais posé cette question !)

Sa superficie est bien connue de wikipédia (27 208 km²), et d'après le ministère de l'écologie, la longueur du littoral est estimée à 2652 km.

La Bretagne

Ca, c'est la Bretagne. Grâce à l'échelle, on dispose de segments de 10km à reporter sur la carte le long de la côte. En comptant le nombre de segments nécessaires à rapporter sur le littoral, on peu en déduire une approximation de la longueur de la côte.
Mais avec cette méthode, on fait de très grosses approximations, en transformant en ligne droite des lignes bien plus irrégulières dans la réalité.
Pour avoir une meilleure approximation, il semble ingénieux de prendre des segments de mesure plus petits, et de zoomer sur la carte pour avoir un tracé des côtes plus précis.

Mais on se heurte toujours aux mêmes problèmes : on transforme toujours les circonvolutions du terrain en ligne droites dans le calcul, diminuant la longueur réelle. En effet, puisque le chemin le plus court pour aller d'un point à un autre est la ligne droite, aller en zig-zag d'un point à un autre est plus long que d'aller en ligne droite !
Peu importe à quelle échelle on se place, on sous-estimera toujours la longueur de la côte Bretonne !

Autre façon de voir les choses. Demandons à un géant, à un chat et à une fourmi de parcourir la Bretagne en restant le long du littoral. Pour rester près de l'eau, la fourmi devra faire beaucoup plus de détours que le chat, et le géant ne se souciera que très peu de l'irrégularité de la côte. Au final, le géant parcourra beaucoup moins de kilomètres que le chat, qui lui même en parcourra moins que la fourmi.

En toute rigueur, la longueur de la côte Bretonne est infinie ! (Et de n'importe quelle côte, en fait, mais la côte Bretonne est la plus cisaillée par ses criques et ses rivages rocheux, ce qui illustre le mieux le caractère fractal des côtes)

Puisque c'est un phénomène naturel, il y a quand même plusieurs limites au calcul.
D'un point de vue purement physique, on ne pourra pas zoomer à volonté sur la carte, puisqu'on atteindra à un moment ou à un autre l'échelle de l'atome.
D'un point de vue moins physicien, il ne faut pas oublier les marées, qui changent en permanence la frontière entre l'eau et la terre. Celles-ci permettent de délimiter des zones mi-eau, mi-terre, qui permettent de faire des approximations raisonnables de la longueur de la côte. Je ne sais pas comment a été obtenue la valeur de 2652km donnée par le ministère de l'écologie, mais je serais curieux de le savoir !

Le flocon de Koch
Étape 1 - Prenons un triangle (si possible, équilatéral, c'est plus joli).
Étape 2 - Découpons chacun des 3 côtés en 3, et construisons un nouveau triangle sur les segments centraux. On obtient une étoile à 6 branches et à 12 côtés.
Étape 3 - Découpons chacun des 12 côtés en 3, et construisons à nouveau des triangles sur les segments centraux. Le polygone obtenu possède alors 48 côtés.
Étape ... - Continuer ainsi en construisant un nouveau triangle au milieu de chaque côté.
La courbe que l'on obtient à l'étape ∞ est appelée "flocon de Koch".

A chaque étape de la construction, le nombre de côté est multiplié par 4 (un côté est toujours transformé en 4), et la longueur de chaque côté est divisé par 3.

Comme pour la côte de la Bretagne, on peut se demander quelle est la longueur du périmètre du flocon de Koch.

Mais avant ça, interessons nous à la surface de ce flocon. On suppose que la longueur d'un côté du triangle équilatéral de la première étape est 1.
Une chose est sûre : l'aire est bien finie, puisqu'elle est au moins plus petite que la taille de votre écran. Combien vaut-elle, c'est déjà plus difficile à évaluer. Si vous n'aimez pas les calculs, mieux vaut passer la séquence qui arrive.

{
Petit rappel : si un triangle équilatéral a un côté de longueur a, son aire est .
A l'étape 1, on a un triangle de côté 1, son aire est donc

A l'étape 2, on ajoute 3 triangles de côté 1/3, l'aire vaut donc
A l'étape 3, on ajoute 3×4 triangles de côté 1/9, l'aire vaut alors .
Et ainsi de suite. A l'étape n, on rajoutera 3×4^n-2 triangles de côté 1/3^n-1. En écrivant ça de manière compliquée, on déduit que l'aire du flocon vaut :

Ce que l'on simplifie en une demie seconde (quand on a fait suffisamment d'études pour savoir faire ça en une demie seconde, une histoire de série géométrique que je ne vais pas développer), et on trouve que l'aire du flocon est :

}

Contrairement à la côte Bretonne, on peut calculer sans approximation le périmètre du flocon de Koch.
A chaque étape, on transforme chaque segment en 4 nouveaux segments plus petits (Plus petits d'un tiers). A une étape donné, si la longueur d'un côté est a, on aura a l'étape suivante 4 côtés de longueur a/3. On passe donc d'une longueur de a à une longueur de 4a/3.
En passant d'une étape à une autre, le périmètre est donc multiplié par 4/3.
Vu qu'il y a un nombre infini d'étapes, on périmètre sera multiplié une infinité de fois par 4/3... Le périmètre du flocon de Koch est infini !

Une figure qui possède une aire finie et un périmètre infini, ça existe bien : le flocon de Koch pour les matheux, la Bretagne pour les autres... Fractale !

Sources :
Les images de la Bretagne proviennent de géoportail, le reste de Wikipédia et de Mathcurves.