Mario
1991 - Super Mario Island / 1996 - Super Mario 64

Quelle est la principale évolution entre ces deux épisodes de la série de jeux vidéo Super Mario ?... Le passage à la 3D !... D, comme dimension !

Mais qu'est ce qu'une dimension ?

Un point, ça n'a pas de dimension.
Une droite, ça n'a qu'une dimension.
Un plan, ça a deux dimensions.
L'espace possède 3 dimensions.
(Et je passe l'espace-temps pour les 4 dimensions, ou les 26 dimensions de la théorie des cordes)

 

Mais c'est quoi, une dimension ?

Pour résumer le plus simplement possible, le nombre de dimension de ces objets représente le nombre de paramètres dont on a besoin pour s'y repérer de manière satisfaisante.

bete_cerclePrenons par exemple un bête cercle, comme celui juste à gauche. L'intérieur du cercle, c'est quelque chose à 2 dimensions, son périmètre, lui, est une courbe, donc une seule dimension.

Si on veut parler du point B sur ce cercle, on peut procéder de plusieurs manière :
(1) * On peut dire que le point B est le seul point du cercle dont l'angle AOB mesure 142,16°
(2) * On peut dire que le point B est le seul point du cercle telle que la longueur de l'arc de cercle AB mesure 2.48.

Dans ces deux cas, un seul nombre suffit à identifier le point, ou pour n'importe quel point du cercle. Voilà pourquoi on parle ici de dimension 1.

 

courbe_main_leveePar contre, si on veut parler d'un point de l'intérieur du cercle, on ne pourra pas le faire avec une seule coordonnée. Grâce aux axes, on a un système simple pour repérer un point dans ce cercle : ses coordonnées. B, par exemple, a pour coordonnées (-0.79, 0.61) (2 coordonnées). Il faut toujours au moins deux nombre : l'intérieur du cercle possède donc 2 dimensions !

 

Quand on parle de courbes, c'est généralement celles tracées en un coup de crayon (comme celle représentée à droite). Pour situer un point B sur la courbe, la façon la plus simple est de fixer un point A sur cette courbe, et de mesurer la distance entre A et B (comme dans le cas (2) de l'exemple du cercle). Cette distance forme un système de coordonées à 1 paramètre, ces courbes sont donc de dimension 1.

 

Et alors ?

 

Koch_a_points

Et la courbe de Koch ?! On choisit en premier lieu le point A le plus à gauche possible. Pour situer un point quelconque (comme le point B), le mieux serait de faire comme pour les '"courbes dessinée à main levée", et mesurer la distance entre A et B. Seul problème : la courbe de Koch est fractale, et la distance entre A et B est infinie !
La dimension de cette courbe n'a pas l'air d'être 1 !

En fait, mesurer la dimension d'un objet, c'est trouver la taille du plus petit système de coordonnées que l'on peut poser sur l'objet. Et c'est loin d'être très aisée dans le cas de monstres  (pourtant pas si horrible que ça) comme le flocon de Koch !

En fait, il faut trouver autre chose de plus ingénieux pour définir la dimension, et pour ça, il faut penser à la manière même de mesurer les objets, notamment, celle de la côte bretonne.

 

Dimension fractale
(1) - Imaginez que vous vouliez mesurer une droite (dimension 1) longue de 10 mètres à l'aide d'une règle de 1 mètre. Pour ça, il va falloir votre règle 10 fois. Si votre règle est scolaire et ne mesure que 20cm, il va falloir la reporter 50 fois.
Ici (en dimension 1), quand je divise par 5 la taille de mon étalon, je dois multiplier par 5 le nombre de fois où je vais devoir le reporter.

 

(2) - Imaginons-nous maintenant carreleur, notre travail est de couvrir une surface de 5m² à l'aide de carreaux de 1m×1m. Il en faudra 25.
Si les carreaux ne sont pas de 1m×1m mais de 20cm×20cm on aura besoin de bien plus de carreaux pour tout recouvrir : il en faudra 625.
Ici, (en dimension 2), quand je divise par 5 la taille de mon étalon, je dois multiplier par 25 le nombre de fois où je vais devoir le reporter.

{La taille du carreau est en fait divisée par 25, mais ce que j'appelle "taille de l'étalon" est divisée par 5 - Faute de meilleur terme que "zoom" pour désigner le rapport d'homothétie}

 

" Quand je divise par m la taille de mon étalon, je dois multiplier par n le nombre de fois où je vais devoir le reporter "

Attention ! Le prochain paragraphe contient une formule magique !
Calculons maintenant ln(n)/ln(m) (*), avec une calculette (ou les souvenirs de lycée sur la fonction logarithme).

 

Dans le cas 1, on a ln(5)/ln(5)=1.
Dans le cas 2, on a ln(25)/ln(5)=2. (On trouve toujours 2 si on divise l'étalon par un autre nombre que 5, grâce aux propriétés de la fonction ln : ln(n²)/ln(n)=2)
La formule (*) permet (donc) de calculer la dimension !

 

Ici, la formule a été appliquée sur une droite et un carré, mais -avec des moyens mathématiques un brin plus ardus- on peut l'appliquer à des choses bien plus courbes, comme un cercle, par exemple.

 

Tentons maintenant d'appliquer cette formule magique au flocon de Koch.

Koch_mesur_

Ici, (en dimension ???), quand je divise par 3 la taille de mon étalon, je dois multiplier par 4 le nombre de fois où je vais devoir le reporter.

Ma calculette me dit donc que la dimension de la courbe de Koch est de ln(4)/ln(3)=1.26.
La courbe de Koch est plus qu'une simple courbe, mais pas totalement une surface, donc quelque chose entre les deux ; il n'y a pas de raison pour que sa dimension ne soit pas quelque part entre les 2 !

Dans les cas les plus simples des fractales, la formule ln(n)/ln(m) nous donne la dimension fractale, alias dimension de Hausdorff (pour les cas simples du genre de Koch) !

Histoire de...
Pour finir, quelques exercice pour voir si tout le monde a bien compris, même les deux au fond qui s'amusent à jouer au Pictionnary au lieu d'écouter le cours : calculer les dimensions de Hausdorff des deux fractales suivantes.

La saucisse de Minkowski :

Saucisse

Les premières étapes de la construction de cette fractale sont les suivantes :

Saucisse2

Quand je divise par 4 la taille de mon étalon, je dois multiplier par 8 le nombre de fois où je vais devoir le reporter, la dimension fractale de cette courbe est donc ln(8)/ln(4)=1.5 .

 

Le triangle de Sierpiński :

 

TriangleSierpinski

Quand je divise par 2 la taille de mon étalon (Ici, le côté du triangle équilatéral), je dois multiplier par 3 le nombre de fois où je vais devoir le reporter ; la dimension fractale du triangle est donc de ln(3)/ln(2)=1.58 .

Par contre, je doute qu'un jour sorte un Mario en 2.58D...


Sources :
Les images proviennent en majorité de Wikipédia, une autre a été prise , et les autres sont des créations personelles. (Sauf celles de Mario...)