26 juillet 2008
Bienvenue dans la 1.26eme dimension !
1991 - Super Mario Island / 1996 - Super Mario 64
Quelle est la principale évolution entre ces deux épisodes de la série de jeux vidéo Super Mario ?... Le passage à la 3D !... D, comme dimension !
Mais qu'est ce qu'une dimension ?
Un point, ça n'a pas de dimension.
Une droite, ça n'a qu'une dimension.
Un plan, ça a deux dimensions.
L'espace possède 3 dimensions.
(Et je passe l'espace-temps pour les 4 dimensions, ou les 26 dimensions de la théorie des cordes)
Mais c'est quoi, une dimension ?
Pour résumer le plus simplement possible, le nombre de dimension de ces objets représente le nombre de paramètres dont on a besoin pour s'y repérer de manière satisfaisante.
Prenons par exemple un bête cercle, comme celui juste à gauche. L'intérieur du cercle, c'est quelque chose à 2 dimensions, son périmètre, lui, est une courbe, donc une seule dimension.
Si on veut parler du point B sur ce cercle, on peut procéder de plusieurs manière :
(1) * On peut dire que le point B est le seul point du cercle dont l'angle AOB mesure 142,16°
(2) * On peut dire que le point B est le seul point du cercle telle que la longueur de l'arc de cercle AB mesure 2.48.
Dans ces deux cas, un seul nombre suffit à identifier le point, ou pour n'importe quel point du cercle. Voilà pourquoi on parle ici de dimension 1.
Par contre, si on veut parler d'un point de l'intérieur du cercle, on ne pourra pas le faire avec une seule coordonnée. Grâce aux axes, on a un système simple pour repérer un point dans ce cercle : ses coordonnées. B, par exemple, a pour coordonnées (-0.79, 0.61) (2 coordonnées). Il faut toujours au moins deux nombre : l'intérieur du cercle possède donc 2 dimensions !
Quand on parle de courbes, c'est généralement celles tracées en un coup de crayon (comme celle représentée à droite). Pour situer un point B sur la courbe, la façon la plus simple est de fixer un point A sur cette courbe, et de mesurer la distance entre A et B (comme dans le cas (2) de l'exemple du cercle). Cette distance forme un système de coordonées à 1 paramètre, ces courbes sont donc de dimension 1.
Et alors ?
Et la courbe de Koch ?! On choisit en premier lieu le point A le plus à gauche possible. Pour situer un point quelconque (comme le point B), le mieux serait de faire comme pour les '"courbes dessinée à main levée", et mesurer la distance entre A et B. Seul problème : la courbe de Koch est fractale, et la distance entre A et B est infinie !
La dimension de cette courbe n'a pas l'air d'être 1 !
En fait, mesurer la dimension d'un objet, c'est trouver la taille du plus petit système de coordonnées que l'on peut poser sur l'objet. Et c'est loin d'être très aisée dans le cas de monstres (pourtant pas si horrible que ça) comme le flocon de Koch !
En fait, il faut trouver autre chose de plus ingénieux pour définir la dimension, et pour ça, il faut penser à la manière même de mesurer les objets, notamment, celle de la côte bretonne.
Dimension fractale
(1) - Imaginez que vous vouliez mesurer une droite (dimension 1) longue de 10 mètres à l'aide d'une règle de 1 mètre. Pour ça, il va falloir votre règle 10 fois. Si votre règle est scolaire et ne mesure que 20cm, il va falloir la reporter 50 fois.
Ici (en dimension 1), quand je divise par 5 la taille de mon étalon, je dois multiplier par 5 le nombre de fois où je vais devoir le reporter.
(2) - Imaginons-nous maintenant carreleur, notre travail est de couvrir une surface de 5m² à l'aide de carreaux de 1m×1m. Il en faudra 25.
Si les carreaux ne sont pas de 1m×1m mais de 20cm×20cm on aura besoin de bien plus de carreaux pour tout recouvrir : il en faudra 625.
Ici, (en dimension 2), quand je divise par 5 la taille de mon étalon, je dois
multiplier par 25 le nombre de fois où je vais devoir le reporter.
{La taille du carreau est en fait divisée par 25, mais ce que j'appelle "taille de l'étalon" est divisée par 5 - Faute de meilleur terme que "zoom" pour désigner le rapport d'homothétie}
" Quand je divise par m la taille de mon étalon, je dois multiplier par n le nombre de fois où je vais devoir le reporter "
Attention ! Le prochain paragraphe contient une formule magique !
Calculons maintenant ln(n)/ln(m) (*), avec une calculette (ou les souvenirs de lycée sur la fonction logarithme).
Dans le cas 1, on a ln(5)/ln(5)=1.
Dans le cas 2, on a ln(25)/ln(5)=2. (On trouve toujours 2 si on divise l'étalon par un autre nombre que 5, grâce aux propriétés de la fonction ln : ln(n²)/ln(n)=2)
La formule (*) permet (donc) de calculer la dimension !
Ici, la formule a été appliquée sur une droite et un carré, mais -avec des moyens mathématiques un brin plus ardus- on peut l'appliquer à des choses bien plus courbes, comme un cercle, par exemple.
Tentons maintenant d'appliquer cette formule magique au flocon de Koch.
Ici, (en dimension ???), quand je divise par 3 la taille de mon étalon, je dois multiplier par 4 le nombre de fois où je vais devoir le reporter.
Ma calculette me dit donc que la dimension de la courbe de Koch est de ln(4)/ln(3)=1.26.
La courbe de Koch est plus qu'une simple courbe, mais pas totalement une surface, donc quelque chose entre les deux ; il n'y a pas de raison pour que sa dimension ne soit pas quelque part entre les 2 !
Dans les cas les plus simples des fractales, la formule ln(n)/ln(m) nous donne la dimension fractale, alias dimension de Hausdorff (pour les cas simples du genre de Koch) !
Histoire de...
Pour finir, quelques exercice pour voir si tout le monde a bien compris, même les deux au fond qui s'amusent à jouer au Pictionnary au lieu d'écouter le cours : calculer les dimensions de Hausdorff des deux fractales suivantes.
La saucisse de Minkowski :
Les premières étapes de la construction de cette fractale sont les suivantes :
Quand je divise par 4 la taille de mon étalon, je dois multiplier par 8 le nombre de fois où je vais devoir le reporter, la dimension fractale de cette courbe est donc ln(8)/ln(4)=1.5 .
Le triangle de Sierpiński :
Quand je divise par 2 la taille de mon étalon (Ici, le côté du triangle équilatéral), je dois multiplier par 3 le nombre de fois où je vais devoir le reporter ; la dimension fractale du triangle est donc de ln(3)/ln(2)=1.58 .
Par contre, je doute qu'un jour sorte un Mario en 2.58D...
Sources :
Les images proviennent en majorité de Wikipédia, une autre a été prise là, et les autres sont des créations personelles. (Sauf celles de Mario...)
20 juillet 2008
Fractales ?
Concrètement, une fractale (ou, un "objet fractal", à l'origine, c'est un adjectif), c'est quoi ? ...
La courbe de Koch : on part d'un segment, on construit un triangle équilatéral sur le tiers central, et on répète indéfiniment le processus sur les nouveaux segments.
... Le mot fractal (du latin fractus, qui signifié brisé) a été inventé par Benoît Mandelbrot (Les Objets fractals : forme, hasard, et dimension, 1973.)...
Le triangle de Sierpiński : on part d'un triangle (équilatéral) auquel on évide la partie centrale. On obtient 3 triangles, sur lesquels on répète le même processus d'évidement de la partie centrale.
... Mais Mandelbrot n'y donne en fait pas vraiment de définition de ce que signifie "fractal"...
La baderne d'Apollonius : après avoir construit un grand cercle et 3 cercles tangents les uns aux autres, on construit de nouveaux cercles de manière à ce qu'ils soient toujours tangents à 3 autres cercles.
... Une chose est sûr : la caractéristique d'une courbe ou d'une surface fractale, c'est d'être irrégulière ! ...
Un ensemble de Julia (de paramètre -0.38) : les points en noirs possèdent une caractéristique propre, que ne possèdent pas les points colorés. Cette caractéristique a rapport avec les nombres complexes. (Je m'y attarderai bien plus dans quelques semaines)
... Enfin, tout dépend de ce que l'on appelle "irrégulier" ! (Personnellement, je trouve la courbe de Koch très régulière, dans son genre). Ce qu'il nous faut en plus de l'irrégularité, c'est de posséder des homothéties internes...
L'ensemble de Mandelbrot : Très proche des ensembles de Julia, on le définit également à partir des nombres complexes. (Je m'y attarderai bien plus dans quelques semaines)
... Dans le langage un peu plus courant, on dit volontiers "zoom" ou "dézoom" pour parler des homothéties. Un objet est fractal lorsque, quand on le regarde de plus près, il reste à peu près le même : il est autosimilaire...
Un mouvement brownien : imaginez un grain de pollen en suspension dans l'eau. Les molécules d'eau sont en perpétuel mouvement, ils leur arrivent donc de frapper ce grain de pollen, un mouvement en résulte. Ce mouvement dans tous les sens, complètement hasardeux, est un mouvement brownien.
... Les plus simples des fractales utilisent des processus déterministes : une recette permettant d'aboutir (après un nombre infini d'étapes) à une -jolie- figure géométrique. La courbe de Koch et le triangle de Sierpiński utilisent la géométrie basique, les ensembles de Julia ou de Mandelbrot utilisent des concepts plus avancées comme les nombres complexes, mais restent le résultat d'une recette...
L'évolution du CAC40 : Quand on pense à une courbe très irrégulière, c'est généralement à celle de la bourse que l'on pense, qui présente tous les traits d'une courbe fractale.
... D'autres fractales sont fabriquées en utilisant des processus stochastiques, c'est à dire, à base d'aléatoire. Un mouvement brownien ou une courbe de la Bourse font partie de ce genre de courbes fractales...
La courbe de Peano (4 premières étapes de dessin) : Étape 1 - Dessinez une grille 3×3, puis dessinez une courbe passant par toutes les cases, joignant celle en bas à gauche à celle en haut à gauche (Le chemin trouvé ressemble à un N). Étape 2 : chaque cellule de la grille est à nouveau divisée en 9, et on effectue les mêmes trajet en N dans ces nouvelles divisions. En répétant le processus à l'infini, on trouve la courbe de Peano (indessinable, l'épaisseur du trait donnerait un carré noir)
... La grande particularité des fractales, c'est d'être toujours à mi chemin entre la 1ère dimension et la 2eme dimension. Nous vivons dans un monde en 3 dimensions ; une surface (une feuille de papier, plus ou moins pliée) est à 2 dimensions ; une courbe (un trait dessiné sur cette feuille) ne possède qu'une dimension. La courbe de Peano est une courbe -donc, à 1 dimension- mais finit par recouvrir entièrement un carré, qui lui, est à 2 dimension. Une ou deux dimensions ? Cette indécision est la caractéristique principale des fractales...
Des poumons : Les échanges gazeux entre l'air et le sang se font dans les alvéoles pulmonaires. Pour multiplier le nombre d'alvéole et faciliter les échanges, les conduits alvéolaires présentent une structure arborescente (fractale). La surface d'échange contenue dans deux poumons est alors comparable à la taille d'un court de tennis.
... Finalement, pour définir exactement tout ce que l'on range dans la catégorie fractale, il faut s'intéresser à cette histoire de dimensions. C'est pourquoi on appelle "fractale" un ensemble dont la dimension de Hausdorff est strictement supérieure à la dimension topologique...
L'éponge de Menger : Il est construit de la même façon que le triangle de Sierpiński. On part d'un cube subdivisé en 27, et on évide les parties centrales. Il reste alors 20 cubes, sur lesquels on réitère le processus, et ainsi de suite.
... C'est quand même plus précis que "une fractale est un objet mathématique qui contient des fractales", mais ça nécessite beaucoup plus d'explications qu'une simple suite de de dessins comme dans l'article d'aujourd'hui. Mais les explications à propos de cette histoire de dimension seront pour la semaine prochaine !
Art fractal (Michael Michelitsch - 1990) : Grâce à l'informatique, on a pu obtenir facilement des illustrations de fractales, mais une nouvelle discipline artistique est également apparue. Quand l'art s'empare des mathématiques, cela donne le fractal art contest de Benoit Mandelbrot.
Sources :
Wikipédia, d'où proviennent l'ensemble des illustrations. (Sauf celle de la bourse, qui vient de Yahoo!)
14 juillet 2008
Il neige sur la côte bretonne
Quelle est la longueur du littoral Breton ? (Avouez, vous ne vous êtes encore jamais posé cette question !)
Sa superficie est bien connue de wikipédia (27 208 km²), et d'après le ministère de l'écologie, la longueur du littoral est estimée à 2652 km.
La Bretagne
Ca, c'est la Bretagne. Grâce à l'échelle, on dispose de segments de 10km à reporter sur la carte le long de la côte. En comptant le nombre de segments nécessaires à rapporter sur le littoral, on peu en déduire une approximation de la longueur de la côte.
Mais avec cette méthode, on fait de très grosses approximations, en transformant en ligne droite des lignes bien plus irrégulières dans la réalité.
Pour avoir une meilleure approximation, il semble ingénieux de prendre des segments de mesure plus petits, et de zoomer sur la carte pour avoir un tracé des côtes plus précis.
Mais on se heurte toujours aux mêmes problèmes : on transforme toujours les circonvolutions du terrain en ligne droites dans le calcul, diminuant la longueur réelle. En effet, puisque le chemin le plus court pour aller d'un point à un autre est la ligne droite, aller en zig-zag d'un point à un autre est plus long que d'aller en ligne droite !
Peu importe à quelle échelle on se place, on sous-estimera toujours la longueur de la côte Bretonne !
Autre façon de voir les choses. Demandons à un géant, à un chat et à une fourmi de parcourir la Bretagne en restant le long du littoral. Pour rester près de l'eau, la fourmi devra faire beaucoup plus de détours que le chat, et le géant ne se souciera que très peu de l'irrégularité de la côte. Au final, le géant parcourra beaucoup moins de kilomètres que le chat, qui lui même en parcourra moins que la fourmi.
En toute rigueur, la longueur de la côte Bretonne est infinie ! (Et de n'importe quelle côte, en fait, mais la côte Bretonne est la plus cisaillée par ses criques et ses rivages rocheux, ce qui illustre le mieux le caractère fractal des côtes)
Puisque c'est un phénomène naturel, il y a quand même plusieurs limites au calcul.
D'un point de vue purement physique, on ne pourra pas zoomer à volonté sur la carte, puisqu'on atteindra à un moment ou à un autre l'échelle de l'atome.
D'un point de vue moins physicien, il ne faut pas oublier les marées, qui changent en permanence la frontière entre l'eau et la terre. Celles-ci permettent de délimiter des zones mi-eau, mi-terre, qui permettent de faire des approximations raisonnables de la longueur de la côte. Je ne sais pas comment a été obtenue la valeur de 2652km donnée par le ministère de l'écologie, mais je serais curieux de le savoir !
Le flocon de Koch
Étape 1 - Prenons un triangle (si possible, équilatéral, c'est plus joli).
Étape 2 - Découpons chacun des 3 côtés en 3, et construisons un nouveau triangle sur les segments centraux. On obtient une étoile à 6 branches et à 12 côtés.
Étape 3 - Découpons chacun des 12 côtés en 3, et construisons à nouveau des triangles sur les segments centraux. Le polygone obtenu possède alors 48 côtés.
Étape ... - Continuer ainsi en construisant un nouveau triangle au milieu de chaque côté.
La courbe que l'on obtient à l'étape ∞ est appelée "flocon de Koch".
A chaque étape de la construction, le nombre de côté est multiplié par 4 (un côté est toujours transformé en 4), et la longueur de chaque côté est divisé par 3.
Comme pour la côte de la Bretagne, on peut se demander quelle est la longueur du périmètre du flocon de Koch.
Mais avant ça, interessons nous à la surface de ce flocon. On suppose que la longueur d'un côté du triangle équilatéral de la première étape est 1.
Une chose est sûre : l'aire est bien finie, puisqu'elle est au moins plus petite que la taille de votre écran. Combien vaut-elle, c'est déjà plus difficile à évaluer. Si vous n'aimez pas les calculs, mieux vaut passer la séquence qui arrive.
{
Petit rappel : si un triangle équilatéral a un côté de longueur a, son aire est 
.
A l'étape 1, on a un triangle de côté 1, son aire est donc 
A l'étape 2, on ajoute 3 triangles de côté 1/3, l'aire vaut donc 
A l'étape 3, on ajoute 3×4 triangles de côté 1/9, l'aire vaut alors 
.
Et ainsi de suite. A l'étape n, on rajoutera 3×4n-2 triangles de côté 1/3n-1. En écrivant ça de manière compliquée, on déduit que l'aire du flocon vaut :
Ce que l'on simplifie en une demie seconde (quand on a fait suffisamment d'études pour savoir faire ça en une demie seconde, une histoire de série géométrique que je ne vais pas développer), et on trouve que l'aire du flocon est :
}
Contrairement à la côte Bretonne, on peut calculer sans approximation le périmètre du flocon de Koch.
A chaque étape, on transforme chaque segment en 4 nouveaux segments plus petits (Plus petits d'un tiers). A une étape donné, si la longueur d'un côté est a, on aura a l'étape suivante 4 côtés de longueur a/3. On passe donc d'une longueur de a à une longueur de 4a/3.
En passant d'une étape à une autre, le périmètre est donc multiplié par 4/3.
Vu qu'il y a un nombre infini d'étapes, on périmètre sera multiplié une infinité de fois par 4/3... Le périmètre du flocon de Koch est infini !
Une figure qui possède une aire finie et un périmètre infini, ça existe bien : le flocon de Koch pour les matheux, la Bretagne pour les autres... Fractale !
Sources :
Les images de la Bretagne proviennent de géoportail, le reste de Wikipédia et de Mathcurves.
06 juillet 2008
Choux romanesco, vache qui rit et...
100e article de ce blog !
Né le 15 novembre 2006 sur une réflexion mathématique sur la nature des chaussettes de Zidane, et presque 8 mois après avoir oublié d'en fêter l'anniversaire, ce blog dépasse aujourd'hui avec cet article la barre symbolique (en base 10) des 100 articles !
Ca se fête !... Avec un délicieux gâteau de choux romanesco à la vache qui rit !
Et surtout, l'occasion de dire qu'un blog matheux ne peux pas passer 100 notes sans parler de fractales...
La boîte de vache qui rit
Boîte de 1924 - Vache qui rit actuelle
Créée en 1921, c'est en 1924 que la vache qui rit devient féminine en arborant de jolies boucles d'oreilles : une boîte de vache qui rit. Sur cette boîte, on peut voir la vache qui rit arborant de jolies boucles d'oreilles : une boîte de vache qui rit. Sur cette boîte, on peut voir la vache qui rit, arborant de jolies boucles d'oreilles : une boîte de vache qui rit... Et on pourrait continuer autant de temps que l'on veut comme ça.
Plus que pour son fromage, la vache qui rit est réputée chez les matheux comme l'exemple le plus simple d'autosimilarité : on retrouve l'image en elle-même, à ce, à n'importe quelle échelle. Que l'on regarde la boîte ou la boucle d'oreille, on voit la même chose.
D'un point de vue plus général, il s'agit d'un mise en abyme : placer une image en elle-même, du genre de l'album Ummagumma des Pink Floyd :
Et quel rapport avec ce blog ?...
Le choux romanesco
Le légume préféré des mathématiciens, même si nombre d'entre eux n'en ont jamais mangé. Double notoriété en mathématique : ses spirales, dans lesquelles on retrouve le nombre d'or et la suite de Fibonacci.
Et surtout, comme pour la vache qui rit, sa nature auto-similaire : a différentes échelles, un chou romanesco reste un chou romanesco : il garde ses spirales, et garde son autosimilarité !
Et le rapport avec les maths, dans tout ça ? Le choux romanesco et la Vache qui Rit sont les exemples les plus accessibles de fractale : irrégularité à toute échelle pour le légume, autosimilarité dans les deux cas, c'est souvent comme ça que l'on considère les objets "fractals" ; associées à l'informatique, les fractales sont les meilleures choses arrivées aux mathématiques depuis bien longtemps... La production de jolis dessins !
Enfin, bref... Joyeux centième article !
(Et pour ceux qui poseraient la question, une intégrale curviligne est l'intégrale d'une fonction calculée le long d'une courbe, généralement dans le plan complexe...)
N'oublions pas The infinite Cat Project... Pas d'anniversaire sans chats mignons !