"- Oh, il fait beau, aujourd'hui !
- Vous savez, je crois les nuages vont bientôt revenir !
- Y'a plus de saison, ma bonne dame ! C'est à cause du caractère chaotique du temps qu'il fait !"

Et c'est bien le grand malheur des météorologues : comment peut-on prévoir le temps qu'il va faire dans deux semaines si on ne connait pas exactement les points d'envol de tous les papillons du monde ? Et ben, on peut pas !
Prévoir la météo des jours à venir, c'est extrapoler les données d'aujourd'hui (température, pression, direction des vents etc.) à l'aide d'algorithmes. Mais cela représente une très grand nombre de données (initiales) qui influent toutes les unes sur les autres, et il faudrait prendre en compte toutes ces influences (de façon précise) pour connaitre le temps de la semaine prochaine.

Mais si prévoir le temps est complexe (jusqu'à dix jours à l'avance grand maximum aujourd'hui), c'est que la nature est complexe : beaucoup trop de données, beaucoup trop d'interactions... C'est normal que les résultats soient au final si chaotique !

...

En fait, non ! Même à partir de choses très simple, on peut voir surgir des comportements chaotiques, c'est à dire, extrêmement sensible aux données initiales. La méthode de Newton en est un exemple ; l'article du jour en est un autre !

 

L'évolution des populations, selon Verhulst
Comment une population (de n'importe quel animal que vous voulez) évolue t'elle au cours du temps ? Plus la population est grande, moins il y a de nourriture, donc plus le taux de mortalité sera élevé et celui de natalité faible. Si la population est faible, elle a suffisamment de nourriture pour se développer : son taux de natalité est fort et celui de mortalité faible.
On suppose que les taux de mortalité et de natalité croissent et décroissent de la même manière que la population (modèle de Vershult - Cela implique qu'il y a un nombre maximal d'individu dans la population, où le taux de mortalité sera de 100%). Après calculs, en supposant que le nombre maximal d'individu est 1 (millions, par exemple) on trouve que la population évolue d'années en années selon l'équation suivante :

Pn+1 = µ.Pn.(1-Pn)
(Appelée la suite logistique)

(µ est un paramètre qui dépend de la population que l'on observe (sont-ce des chevreuils ou des pélicans ?), mais pas de la taille initiale de la population)

Comportement de la suite logistique
Maintenant, il est temps d'étudier cette suite : comment vont évoluer les populations, par rapport au paramètre µ ?

* Population de diplodocus (µ ∈ [0;1])

logi_0_9
(Évolution d'une population de diplodocus selon le modèle de Verhulst, avec µ=0,9 et P0=0,5)

Peu importe la taille initiale de la population, lorsque µ est entre 0 et 1, l'espèce finit par s'éteindre.

* Population de poissons clowns (µ ∈ ]1;3])

logi_2_7
(Évolution d'une population de poissons clowns selon le modèle de Verhulst, avec µ=2,7 et P0=0,1)

Avec µ entre 1 et 3, la population de l'espèce finit par se stabiliser autour de (µ-1)/µ, après avoir oscillé (pour µ>2).

* Population de poules sauvages (µ ∈ ]3;3.45])

logi_3_4
(Évolution d'une population de poules sauvages selon le modèle de Verhulst, avec µ=3,4 et P0=0,1)

Avec µ entre 3 et 3,4 (1+√6), la population de l'espèce ne se stabilise bas, mais oscille infiniment entre deux valeurs.

*Population de coccinelles (µ ∈ ]3;3.57])

logi_3_52

(Évolution d'une population de coccinelles selon le modèle de Verhulst, avec µ=3,52 et P0=0,1)

Avec µ entre 3 et 3,4 , la population de l'espèce oscille entre 2 valeurs.
Avec µ entre 3,45 et 3,52, la population de l'espèce oscille entre 4 valeurs.
Au fur et à mesure que µ se rapproche de 3,57, le nombre de valeurs entre lesquelles la population oscille double. (Peu importe la population initiale)

* Population de sauterelles (µ ∈ ]3,57;4])

logi_3_85
(Évolution d'une population de sauterelles selon le modèle de Verhulst, avec µ=3,85 et P0=0,1 (en bleu) et P0=0,1001 (en rouge) )

A partir de µ>3,57, le chaos s'installe : les oscillations font très souvent n'importe quoi. En changeant de très peu le terme initial, la suite prend un visage totalement différent !

En faisant varier µ, on peut quand même retrouver des oscillations entre 3 valeurs, 6 valeurs, 12 valeurs... (Et en fait, on peut trouver des oscillations entre autant de valeurs que l'on veut !)

On peut résumer tout ça dans un diagramme de bifurcation : en abscisse, les valeurs de µ et en ordonnée la (ou les, dans le cas de cycles) valeur(s) vers lesquelles la suite converge. Ce diagramme est fractal !

LogisticMap_BifurcationDiagram

Bref, tout ça pour dire que dehors, il pleut...


Sources :
Wikipédia
DicoMath : contient un applet java pour tester la suite logistique à partir de n'importe quel paramètre.