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Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes
14 septembre 2008

Les fractales de Lyapunov

" Koch et Mandelbrot c'est vraiment surfait.
Alors que Lyapunov, c'est vraiment la classe ;)
" [keru]

Est-ce possible de faire sur ce blog un article de vulgarisation à propos des fractales de Lyapunov ? Tentons l'expérience !

LyapouAABAB
Fractale de Lyapunov, de racine AABAB

La suite logistique
Si vous n'étiez pas sur ce blog la semaine dernière, faisons un petit rappel : la suite logistique, c'est la suite (de paramètre µ) définie comme ça :

Pn+1 = fµ(Pn) avec fµ(x)= µ.x.(1-x)
P0 ∈ ]0;1[

Et suivant le paramètre µ, cette suite peut se comporter de 3 manières différentes :
- Elle peut converger (Pour µ entre 0 et 3) (Et c'est pas très intéressant)
- Elle peut osciller entre plusieurs valeurs (pour µ entre 3 et 3,57)
- Elle peut faire n'importe quoi (pour µ entre 3,57 et 4)
- Elle peut diverger (Pour µ>4) (Et c'est encore moins intéressant)

Faire n'importe quoi, ici, c'est être chaotique, c'est à dire, sensible à son terme initial P0. En changeant, même très peu, le premier terme P0, la suite que l'on obtiendra sera complètement différente.

On résume le comportement de cette suite "logistique" par le diagramme suivant, qui représente les points vers laquelle la suite converge (ou oscille) suivant la valeur de µ (bizarrement appelée r sur le graphique). La zone la plus sombre, c'est la zone où la suite a un comportement chaotique.

LogisticMap_BifurcationDiagram

L'exposant de Lyapunov
Et le comportement chaotique (c'est à dire, sa sensibilité à son terme initial) est quelque chose de mesurable, grâce à l'exposant de Lyapunov (Nom donné en l'honneur du mathématicien russe Александр Михайлович Ляпунов - Ou Aleksandr Mikhailovich Lyapunov, si vous lisez pas bien le cyrillique), nombre donné par la formule suivante :

Exposant de Lyapunov de la suite définie par Pn+1=f(Pn) :
E = Lyapu_formula

Dans notre cas, on prend ici la fonction fµ = µ.x.(1-x)

Je ne vais pas développer le pourquoi de cette formule, ce n'est pas vraiment la question (Tous les détails ici). Toujours est-il que l'exposant de Lyapunov permet de savoir à quel point la suite définie par Pn+1=f(Pn) est chaotique.
Cet exposant peut prendre des valeurs positives ou négatives :
- Si l'exposant est négatif, c'est que la suite n'a rien de chaotique...
- Si l'exposant est positif, la suite est chaotique. Une légère modification du terme initial P0 aura des grandes répercussions sur l'allure de la suite après un grand nombre d'étapes. Plus l'exposant est grand, plus les répercussions d'une petite modification de P0 se feront sentir rapidement.

Bref, plus ce nombre est grand, plus c'est chaotique !

Bifurcation_Lyapunov
En vert, on retrouve le diagramme de bifurcation
En bleu, l'exposant de Lyapunov associé aux suites logistiques de différent paramètres; on voit qu'il devient positif pour µ>3.54, quand on obtient des suites chaotiques.

Les fractales de Lyapunov
Il faut donc maintenant compliquer les choses ! Pourquoi garder le paramètre µ constant ? Pourquoi ne pas, par exemple, alterner entre un paramètre a et un paramètre b ?
C'est le principe des fractales de Lyapunov !

On s'intéresse donc aux suites définies de la façon suivante :

Pn+1 = a.Pn.(1-Pn)  (Si n est pair)
Pn+1 = b.Pn.(1-Pn) (Si n est impair)
P0 ∈ ]0;1[ ,
P1 ∈ ]0;1[

Suivant les paramètres (a,b) choisis, la suite pourra se comporter de différentes façons, notamment être chaotique - et donc avoir un exposant de Lyapunov positif !

Reste plus qu'à mettre ça en image ! On se choisit un code couleur : blanc pour E =-∞, noir pour E=1, en passant par différents bleus. Le résultat en image :

LyapouAB
Fractale de Lyapunov, de racine AB

On peut modifier le cycle de paramètre pour obtenir d'autre fractales de même genre. Au lieu de faire l'alternance a-b-a-b-a-b-... (on parle de racine AB), on peut faire par exemple a-a-b-a-b-a-a-b-a-b-... (De racine AABAB), ce qui donnera la fractale du début de l'article.

LyapunovAABB
Fractale de racine AABB

LyapunovAABBBBA
Fractale de racine AABBBBA


Sources :
Wikipédia et ici (Où j'ai récupéré les différentes illustrations)

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Commentaires
S
Enfin une explication claire ! bravo !
Répondre
N
Merci c'est vraiment génial comme article !<br /> Je vais essayer de programmer cette fractale en caml si j'ai le temps. <br /> Bravo pour tout le site !
Répondre
K
Avec beaucoup de retard : merci :)
Répondre
T
keru avait raison !
Répondre
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