Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes

Il est là !

Centre du cercle inscrit, centre du cercle circonscrit, centre de gravité, orthocentre, point de Gergonne, point de Fermat, point de Napoléon, point de Vecten, centre du cercle d'Euler, point de Bevan, point de Nagel, point d'Apollonius... Mais où est le centre de ce triangle ?

Tous_les_Points

Cela amène surtout à une autre question : qu'est ce qu'un centre ? (Ou, qu'est on en droit d'attendre d'un centre ?). La moindre des choses pour un centre, c'est que :
1 - Quand on zoome sur le triangle, le centre ne doit pas se bouger
2 - Quand on change le nom des points, le centre doit rester au même endroit
(Tous les centres de la semaine dernière vérifient ces deux critères)

 

Par exemple, en partant d'un triangle ABC, on construit un triangle à l'intérieur DEF, tel que la distance entre les points et les côtés de ABC soit de une unité. O, le centre du cercle circonscrit de ce triangle DEF n'est pas un centre de ABC, car il ne répond pas à la condition 1 : en réduisant la taille du triangle de moitié, ce "centre" o n'est plus du tout au même endroit :

 

triangle_interieurs

 

 

De même, si on appelle O définit le centre du cercle exinscrit de ABC du côté du segment BC, ce point O n'est pas un centre, à cause de la condition 2 : en changeant les nom des points, ce point O changera de place.

 

En fait, un tel point-centre peut se définir par une fonction à 3 variables f(a,b,c), appelée fonction centre d'un triangle.
Le point définit par barycentre( (A,f(a,b,c)) ; (B,f(b,c,a)) ; (C,f(c,a,b)) ) est alors un centre du triangle ABC si la fonction f vérifie
- f est homogène : f(t.a,t.b,t.c) = tn.f(a,b,c) (Ce qui correspond à la condition 1)
- f est symétrique en b et c : f(a,b,c)=f(a,c,b) (Ce qui correspond à la condition 2)

(Dans la définition originale, on parle de coordonnées trilinéaires (niveau master) et non de barycentre (niveau première S), mais cela revient finalement au même)

 

ABC

 

Place aux exemples !
Par la suite, je vais noter barycentre((A,a);(B,b);(C,c)) par a:b:c.
La fonction f(a,b,c) dépend des longueur a,b,c (représentées comme dans le dessin au-dessus), et des angles α, β et γ (que l'on pourrait déduire à partir de a,b et c). En conséquence, le centre d'un triangle équilatéral est toujours au même endroit (car on aura f(a,b,c)=constante, donc le centre sera l'isobarycentre de A,B,C)

 

Le centre de gravité G:
Le plus simple de tous, puisque le centre de gravité d'un triangle est son isobarycentre.
On a donc G =1:1:1.
La fonction centre est donc f(a,b,c)=1

 

Le centre du cercle inscrit C :
On peut également définir le centre du cercle inscrit par un barycentre, avec :
C = a:b:c
La fonction centre est donc f(a,b,c)=a

 

Le centre du cercle d'Euler O :
En fait, tous les points que j'ai présenté la semaine dernière sont des centres, et peuvent être représentés par une fonction centre. Dans certains cas, c'est bien plus difficile, puisque pour le centre du cercle d'Euler (ou centre des 9 points), on a :
O = f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b)
Avec f(a,b,c) = a²(b² + c²) - (b² - c²)²

 

A partir de cette définition du centre d'un triangle, Clark Kimberling a pu dresser la liste de tous les centres imaginables d'un triangle, ce qui se traduit par la liste de 3514 centres différents d'un triangle (au 31 octobre 2008). [Il y en avait 101 en 1994, 360 en 1998 et 3053 début 2005]
En voici un extrait :
X1 : Centre du cercle inscrit : f(a,b,c)=a
X2 : Centre de gravité : f(a,b,c)=1
X3 : Centre du cercle circonscrit : f(a,b,c)=sin(2α)
X4 : Orthocentre : f(a,b,c)=tan(α)
X5 : Centre du cercle d'Euler : f(a,b,c) = a²(b² + c²) - (b² - c²)².
X7 : Point de Gergonne : f(a,b,c)=1/(b+c-a)
X8 : Point de Nagel : f(a,b,c)=b+c-a
X13 : Point de Fermat : f(a,b,c)=f(a,b,c) = a4 - 2(b² - c²)² + a²(b² + c² + 4*√3*Aire(ABC))
X17 : Point de Napoléon : f(a,b,c)=1/sin(α+π/6)
X40 : Point de Bevan : f(a,b,c)=a[b/(c + a -  b) + c/(a + b - c) - a/(b + c - a)]
X181 : Point d'Apollonius : f(a,b,c)=a³.cos²(β/2 - γ/2)
X485 : Point de Vecten : f(a,b,c)=sin(α)/cos(α-π/4)
X3515  : Inverse par rapport au centre du cercle circonscrit du centre de dilatation : f(a,b,c)=a(a - b + c)(a + b - c) - 4ar√(r² + 4rR) (avec R le rayon du cercle circonscrit et r le rayon du cercle inscrit)

Dans tout ce bestiaire, certain point ne sont pas franchement indispensable, du genre de ceux définis comme l'intersection de droites formés par 4 autres centres, ou ceux définis seulement par une formule (sans interprétation géométrique), mais n'empêche, quand on les résume tous par un seul dessin, ça laisse songeur ! (A la futilité de tout ça, peut-être, mais songeur quand même...)

 

 

KimberlingCenters_800


Sources :
Encyclopedia of triangle centers - Par Clark Kimberling
La fonction centre d'un triangle (définition un peu plus précise) - sur MathWorld

Posté par El Jj à 00:07 - Commentaires [0] - Permalien [#]
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