Un escargot courageux, un élastique qui ne casse jamais, un géant prêt à tout pour en faire baver à l'escargot (logique). Autant d'éléments pour faire un problème de maths qui dépasse l'intuition !

Problème n°1 : L'escargot diurne contre le géant nocturne !
Il est une fois un petit escargot d'une ténacité à toute épreuve, et qui s'est mis un point d'honneur à parcourir un élastique long de 100 m (Un défi personnel, pour montrer que les gastéropodes sont capable de grandes choses)
Tous les jours, il parcourt 10 m, puis, dès que le Soleil se couche, s'endort.
Toutes les nuits, pendant que l'escargot dort, le géant du coin s'amuse à tirer sur l'élastique, et l'allonge de 100 m. Le lendemain matin, l'escargot se réveille, voit qu'il a un peu avancé pendant la nuit, voit que la longueur de piste qu'il lui reste a parcourir a aussi augmenté, et effectue à nouveau ses 10 mètres quotidien. Pendant la nuit, géant recommence à tirer sur l'élastique pour lui faire gagner 100m. Etc.

L'escargot va t'il un jour arriver au bout de l'élastique ?...

escargot

Place à la résolution !

Histoire de se fixer les idées, donnons un nom à nos variables :
en : position de l'escargot par rapport à son point de départ au matin du jour n,en mètres
e'n : position de l'escargot par rapport à son point de départ au soir du jour n, en mètres (On a donc e'n=en+10)
En : taille de l'élastique au matin du jour n, en mètres)
yn : pourcentage de l'élastique parcouru (yn=en/En) au matin du jour n
y'n : pourcentage de l'élastique parcouru (yn=e'n/En) au soir du jour n
Il faut donc trouver n tel que yn=1.

Au jour 1 :
E1 = 100
e1 = 0
e'1 = 10

Au jour 2 :
E2 = E1+100 = 200
e2 = 2.e'1 = 20
e'2 = e2+10=30

Au jour n :
D'après l'énoncé, on a En+1=En+100
Et en déduit facilement (avec la condition initiale E1=100) En=n*100
La nuit, le géant tire sur l'élastique, mais le pourcentage d'élastique parcouru ne change pas, c'est à dire, yn+1=y'n.
On a donc :

escarg_dis_1

Autrement dit, on a yn+1 = yn + 1/10n.
Puisque y1=0 et y2=1/10, on se retrouve avec :

escarg_dis_2

Le graphe de yn ressemble à ceci :

escargo_graphe

Et on y retrouve la série harmonique ! Reste à résoudre yn=1, c'est à dire :

escarg_dis_3

Et la solution est... n = 12 367 jours !
Courage, petit escargot, cela ne fait que 34 ans à tenir !

Problème n°2 : La même chose, mais avec un peu plus de café
L'escargot a bien appris de son premier voyage, et décide d'effectuer à nouveau un voyage sur un élastique de 100 m, mais cette fois, il décide de ne plus jamais dormir ! Voyant cela, le géant décide lui aussi de ne plus dormir.
L'élastique fait toujours 100 mètre initialement.
L'escargot avance toujours à 10 mètres par jours.
Le géant étire toujours l'élastique de 100 mètres par jours.
Mais maintenant, ils font ça en même temps !

Posons quelques variables :
E(t) : taille de l'élastique (en mètres) en fonction du temps t (en jours)
  On a donc E(t)=100+100t (La vitesse du géant est de E'(t)=100 m/j)
e(t) : position de l'escargot par rapport à l'origine
y(t)=e(t)/E(t) : pourcentage de l'élastique parcouru

La vitesse e'(t) de l'escargot (par rapport à l'origine) est la somme de deux vitesses :
- sa propre vitesse : 10 m/j
- la vitesse du point de l'élastique où se trouve l'escargot. Si l'escargot est à l'extrémité de l'élastique, le point de l'élastique aura une vitesse nulle ; si l'escargot est à l'autre extrémité (à côté des doigts du géant), le point de l'élastique aura une vitesse de E'(t)=100 m/j). En fait, la vitesse d'un point de l'élastique est proportionnelle à sa position sur l'élastique, c'est à dire y(t)E'(t)
On a donc e'(t)=10+y(t).E'(t)
Ne reste plus qu'à transformer cette équation pour y(t) et résoudre y(t)=1.

A partir de là, on utilise quelques astuces calculatoires :
Puisque e(t) = y(t).E(t)
on a e'(t) = y'(t).E(t) + y(t).E'(t)
Et puisque y(0)=0, on en arrive alors à

escarg_con_1

On sais que E(t)=100+100t, donc on peut "facilement" calculer l'intégrale :

escarg_con_2

Maintenant, "ya plus qu'à" résoudre y(t)=1 ! Et quand c'est fait, on trouve t=e10-1 !...
Autrement dit, t=22 025 jours !

Courage, petit escargot, cela ne fait que 60 ans à tenir !