Il est tant de donner le secret de Super Escargot, le plus tenace de tous les escargots : s'il ne s'est pas arrêté de ramper, c'est parce qu'il savait bien qu'il arriverait au bout de son périple. C'est pas n'importe qui, Super Escargot, puisque c'est le descendant direct de Augustin Louis Cauchy ! Il avait bien compris que la série harmonique divergeait, autrement dit, que 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n peut être aussi grand que n'importe quel nombre fixé à l'avance.

Comment a t'il trouvé ce prodige ? Voici les raisonnements de Super Escargot, vu qu'il en a fait plusieurs pour être sûr qu'il ne partait pas dans l'aventure du voyage sur l'élastique pour rien... (Traduit du langage escargot au français courant par votre serviteur)

Groupement de termes
On va décomposer notre somme infinie 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... par petits paquets. Le premier paquet prenant le 1er terme (1), le deuxième 2 termes (1/2 + 1/3), le troisième 4 termes (1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7), et ainsi de suite en doublant le nombre d'éléments dans chaque paquet. Le p ième paquet sera composé de 2p éléments, allant de 1/2p jusqu'à 1/(2p+1-1). Dans chaque paquets, chaque élément est plus grand que le plus petit d'entre eux (logique), le plus petit étant le dernier. Puisque chaque paquet compte 2p éléments plus grands que 1/(2p+1-1), la somme de tous les éléments sera plus grande que 2p/(2p+1-1), ce qui est plus grand que 1/2. Chaque paquet est plus grand que 1/2, donc 1 + (1/2 + 1/3) + (1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7) + ... est plus grand que 1/2 + 1/2 + 1/2 + ...., donc, aussi grand que l'on veut ! CQFD !

Résumé dans un langage d'escargot, ça donne :

groupements

Suite de Cauchy
Imaginons un instant que Hn = 1+1/2+1/3+...+1/n converge vers une limite l. Alors, H2n=+1/2+1/3+...+1/2n (la même somme, mais avec 2 fois plus de termes) convergera aussi vers l.
Si nos deux suites convergent vers la même limite l, la différence des 2 devrait converger vers 0.
H2n-Hn=1/(n+1)+...1/2n, qui contient n termes tous plus grands que 1/2n. Donc la somme de tous ces termes est supérieure à 1/2. Si, pour n'importe quel n, H2n-Hn= est plus grand que 1/2, il y a peut de chance qu'elle atteigne 0. Donc, la somme Hn diverge ! CQFD !

Résumé en langage escargot :

Cauchy

Par le calcul
Quand on veut chercher la valeur de S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... (somme des puissances de 1/2), on peut le même en équation, en voyant par exemple que 2S - 2 = S, et donc que S=2. On peut essayer de faire la même chose en posant H=1+1/2+1/3+1/4+..., et chercher une équation facile à résoudre avec H.

On peut voir que l'on peut décomposer chaque terme 1/n de H (à partir de 1/2) en une somme de n-1 termes identiques : 1/3 = 1/6+1/6, 1/4=1/12+1/12+1/12 .... On a alors 1/n = 1/n(n-1)+1/n(n-1)+...+1/n(n-1).
Deuxième chose à remarquer, c'est que chaque sous terme 1/n(n-1) peut s'écrire 1/(n-1)-1/n. On aura alors 1/2 = (1-1/2) ; 1/3=(1/2-1/3)+(1/2-1/3) : 1/4=(1/3-1/4)+(1/3-1/4)+(1/3-1/4) et ainsi de suite.
Maintenant, on fait la somme 1+1/2+1/3+... avec la décomposition que l'on vient de faire : on va voir que les termes vont se télescoper : dans la première colonne, on aura (1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+... = 1 (car tous les termes vont s'annuler deux à deux. Dans la seconde colonne, on aura (1/2-1/3)+(1/3-1/4)+... = 1/2, et ainsi de suite. Au final, on trouver que 1+1/2+1/3+...=1+1+1/2+1/3+..., autrement dit, H=1+H. Cette équation n'a pas de solution, donc un tel H ne peut pas avoir de valeur ! H diverge donc ! CQFD.

Dans le langage escargot, cela aurait donné :

telescope

Comparaison avec ln(1+x)
Comme tout le monde le sait, la fonction y=ln(1+x) est concave, donc on a ln(1+x)≤x. En prenant x=1/n, on trouve que ln(1+1/n) ≤ 1/n.
En utilisant les propriétés de la fonction ln, on trouve que ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n) ≤ 1/n.
En partant du fait que ln(2)≤1, et puisque ln(3)-ln(2)≤1/2 ; ln(4)-ln(3)≤1/3 ; ... ; ln(n+1)-ln(n) ≤ 1/n
En sommant le tout, on trouve que ln(n+1) ≤ 1+1/2+1/3+...+1/n. C'est bien connu que la fonction ln(x) tend vers l'infini, donc la somme 1+1/2+1/3+...+1/n divege également ! CQFD.

Résumé par l'escargot :

ln

escargot_ligne

Sources :
Divergence de la série harmonique - Tangente n°113 (novembre-décembre 2006)