Pendant de très nombreux siècles, les mathématiciens se sont cassé les dents sur 4 problème de géométrie, qu'il faut résoudre à la règle et au compas (les plus précis des instruments de géométrie)...
- Diviser un angle donné en 3 anges donnés (trisection de l'angle)
- Pour un cube donné, tracer la base d'un cube ayant un volume double (duplication du cube)
- Pour un cercle donné, tracer un carré ayant une aire égale au cercle (quadrature du cercle)
- Tracer un heptagone régulier (problème des polygones réguliers)

... jusqu'à ce qu'un petit malin (Pierre-Laurent Wantzel, pour ne pas le nommer) démontre que tout ça est impossible : à la règle et au compas, on ne peut tracer que des nombres qui peuvent s'écrire avec des racines carrées, ce qui n'est pas le cas de tout ce que l'on devrait tracer dans ces 4 problèmes.

Mais un mathématicien qui n'arrive pas un problème s'arrange toujours pour y répondre, quitte à utiliser une certaine mauvaise foi : "Qui a dit que l'on avait pas le droit de plier le papier ?".
Même plus besoin de règle ni de compas, on peut résoudre tous les problèmes avec seulement des pliages !

La trisection de l'angle
En supposant que l'angle est tracé sur le bord de la feuille (ici, on considère l'angle formé entre le bas de la feuille et la droite d)

trisecttrisection_na

- On commence par replier le bas de la feuille pour former les droites h0, h1 et h2.
- On plie la feuille la feuille de manière à ce que le point A atteigne h1 et que B atteigne d
- Il n'y a plus qu'à tracer AA', qui trisecte l'angle, l'autre trisectrice n'est pas difficile à obtenir.

Il est également possible de faire en pliage la quintisection de l'angle, mais c'est un peu plus ardu !

La duplication du cube
Pour dupliquer un cube, il faut simplement savoir tracer la proportion ³√2. En effet, si un carré est tracé, on considère que son côté est l'unité. Le volume du cube est alors de 1. Pour construire un cube de volume 2, il nous faut juste tracer son côté, de longueur ³√2.

On peut résumer rapidement le pliage à faire :

racine_cubique_2

Il faut préalablement couper la feuille carrée en 3 bandes égales, ce que l'on fait ainsi :

tiers

Une fois que l'on a trouvé ³√2 comme rapport entre 2 longueurs, on peut dupliquer le cube de côté 1 facilement (le 1 qui a été construit). Pour un côté quelconque, il suffira de reporter le rapport (grâce à Thalès).

L'heptagone régulier
Comment partager une (grande) crêpe entre 7 convives affamés ? Impossible à faire avec l'association règle-compas seulement ; mais le bon côté de la crêpe, c'est qu'on peut la plier très facilement !

heptagone

Voici la démarche à suivre pour aboutir à cet heptagone, et ainsi, partager n'importe quelle crêpe entre 7 personnes ! (Parce que si vous pliez votre tarte aux litchis, vos invités risquent e faire la gueule)
- On commence par se donner un repère, puis on positionne les points A(-0.5,1) et B(1,0).
- On plie de manière à ce que le point A soit sur Ox et que B soit sur Oy. On note V le point où tombe B.
- On trace la droite Δ, médiatrice de VO
- On plie de telle façon que le pli passe par O et que B tombe sur la droite Δ. Le point d'arriver est K.
- L'angle φ, formé par VOK, représente alors 1/7 de cercle ! En reportant cet angle, on peut découper facilement la crêpe !

La quadrature du cercle
Les pliage, c'est vrai que c'est génial, mais on ne peut quand même pas faire tout ce que l'on veut ! Il reste des choses impossibles à faire, notamment la quadrature du cercle. Il existe cependant un moyen de s'approcher de 4π/3 quand même, moyennant un origami assez technique...


Origami
envoyé par El_Jj


Sources :
Origami and Geometric constructions [pdf] (Illustration de la partie duplication du cube)
Résolution par le pliage de l'équation du 3eme degré [pdf](Justification de la construction de l'heptagone)