Trisecter un angle, dupliquer un cube, construire un heptagone régulier avec seulement une règle et un compas, c'était le rêve de tous les mathématiciens grecs, et c'est possible, si l'on s'accorde le droit de plier la feuille sur laquelle on travaille. Faire 2-3 choses en pliant du papier, pourquoi pas, mais quelles sont toutes les choses que l'on peut faire en pliant du papier ? Répondons à cette question, grâce à Huzita !

Rappelons quand même que sans plier le papier, seulement à la règle et au compas, on peut faire un certain nombre de chose. Vu que depuis Descartes, on sait faire des repères cartésiens, on va s'intéresser aux coordonnées des points que l'on peut construire, pourvu que l'on connaisse les points du repère. On dit qu'un point est constructible si ses longueurs sont constructibles. Puisque l'on sait faire des additions, soustractions, multiplications, divisions et extractions de racine carrées de longueurs, (Tout est là) on peut, à partir de la longueur unité, construire tout un tas de longueurs, c'est à dire, de points.
Et on peut démontrer que l'ensemble des longueurs constructibles, c'est tout ce que l'on peut écrire avec +, -, ×, ÷, √ (racine carrée seulement) et des nombres (entiers).

Seulement, voilà : avec l'arrivée des feuilles de papier, le pliage est également arrivée, avec l'ajout notamment de la racine cubique (qui permet la duplication du cube). Après cette longue introduction, il est temps de répondre à la question que tout le monde se pose : que peut on construire par origami ?

Les axiomes de Huzita
Pour découvrir l'ensemble des points constructibles par pliage, il faut déjà savoir ce que l'on entend par "pliage". A la règle et au compas, on peut faire deux choses : une droite à partir de deux points donnés ou un cercle à partir d'un point et d'une longueur construite (Et toute construction géométrique peut se décomposer comme ça). Leur intersection forme les "points constructibles à la règle et au compas)

Avec des pliages, on ne peut construire que des droites, mais il existe 7 façons de les obtenir. Leur intersection forme les points constructibles:

Axiome n°1 : (P↦P ; P'↦P')
A partir de deux points P et P', on peut effectuer un unique pli passant par ces deux points (on obtient alors la droite (PP'))

axiome1

Axiome n°2 : (P↦P')
A partir de deux points P et P' distincts, on peut effectuer un unique pli envoyant P sur P' (on obtient alors la médiatrice de [PP'])

axiome2

Axiome n°3 : (P↦P, d↦d)
A partir d'un point P et d'une droite d, on peut effectue un pli passant par P laissant fixe la droite d. On obtient alors la perpendiculaire à P passant par d (Si P est sur la droite d, il existe un deuxième pli correspondant à l'axiome : le pli selon d)

axiome3

Axiome n°4 : (P↦d, d'↦d')
A partir d'un point P et de deux droites d et d', on peut effectue un pli envoyant P sur d, et laissant invariant d'. Cette opération est une projection de P sur d parallèlement à d', le pli obtenu est perpendiculaire à d'.

axiome4

Axiome n°5 : (d↦d')
A partir de deux droites d et d', on peut plier (de deux façons) de manière à se que d soit envoyé sur d'. On trouve alors une bissectrice de l'angle formé par d et d'.

axiome5

Axiome n°6 : (P↦d,P'↦P')
A partir de deux points P et P' et d'une droite d, on peut trouver un pli passant par P' envoyant P sur d (ce pli peut ne pas exister, on exister de deux façons différentes) (Trouver cette droite revient à résoudre une équation du second degré)

axiome6

Axiome n°7 : (P↦d,P'↦d')
A partir de deux points P et P' et de deux droites d et d', on peut trouver 0, 1, 2 ou 3 droites envoyant P sur d et P' sur d'. (Trouver cette droite revient à résoudre une équation de degré 3)

axiome7

Et c'est tout ! (Huzita a énoncé ces axiomes en 1992, oubliant le n°4 qui fut ajouté par Hatori 10 ans plus tard. En réalité, on connaissait déjà ces 7 axiomes depuis Lang en 1989, mais il s'était fait discret. Ce dernier prouva également qu'on ne pouvait ajouter plus d'axiomes)

Construction des rationnels

Allons y petit à petit : admettons pour l'instant seulement les opérations 1, 2, 3 et 4.

En partant des deux points O(0,0) et A(0,1), on construit facilement le point (0,1/2) (en construisant la droite OA, puis en prenant la médiatrice de OA. On peut ensuite construire (0,1/4) et (0,3/4), puis tous les points de coordonnées (0,a/2^n), avec a<2n, en prenant les médiatrices successives. Ce sont les seuls points que l'on peut obtenir à partir de O et A.

deux_points

En partant cette fois ci de trois points O(0,0), A(0,1) et B(1,0), on peut maintenant trouver n'importe quel point à coordonnée rationnelle !
Pour commencer, on peut construire les points à coordonnée entière, en construisant des perpendiculaires successives. Ici, un exemple de construction du point (0,2) :

trois_points

Ne reste plus qu'à savoir comment construire 0<a/b<1, avec a et b entiers, pour avoir tous les rationnels !

trois_points_asbPour cela, on va se concentrer sur une feuille de papier carrée OBDA :
Pour un rationnel a/b, on commence par chercher le plus petit entier p, puissance de 2, plus grand que a et b-a.
Sur le côté OB, on construit la longueur w= a/p, et sur le côté AD, on construit la longueur x= p+a-b/p.
On trace ensuite la droite reliant W à X, qui coupe la diagonale OD du carré au point (a/b,a/b) !

Par exemple, pour tracer le point de coordonnées (1/5, 1/5) :
On a a=1, b=5, donc p=4.
On construit alors w=1/4 et x=0
On trace ensuite OD et WX : on trouve le point E recherché !

Les opérations 1, 2, 3 et 4 permettent donc d'obtenir l'ensemble des nombres rationnels (Et c'est tout)!

Construction des racines carrées
Ajoutons à présent les axiomes 5 et 6. C'est maintenant les racines carrées qui s'offrent à nous ! En fait, à partir des 6 premiers axiomes, on peut construire les mêmes points qu'avec une règle et un compas ! (Un monde dans lequel on peut résoudre les équations du second degré)
En effet, la droite que l'on obtient avec le pliage numéro 6 correspond à la médiatrice de P et de son image, l'image étant une intersection entre la droite et le cercle de centre P' et de rayon PP'.

axiome6_dessous

Pour construire la racine carrée de m, on part d'une longueur unité AB, et on prend sur cette droite la longueur AC=m.
On plie la feuille de manière à trouver la perpendiculaire d à AB en B (axiome 3) et pour trouver le milieu D de AC (axiome 2). On plie ensuite de manière à ce que le pli passe par D et envoie C sur d au point L (axiome 6). La longueur LA que l'on obtient, c'est la racine carrée de AC !

equation_2edeg

Construction des racines cubiques
Ajoutons enfin le dernier axiome, l'axiome numéro 7, qui donne toute sa force à la construction par pliage, puisque grâce à elle, on peut trouver les solutions réelles d'une équation du troisième degré, de la forme x³+px²+qx+r=0.

 

Commençons doucement, en résolvant x³-m=0, autrement dit, construisons la racine cubique de m !
Pour cela, il suffit de construire les points A=(0.5,m) et B=(1,m/2). Grâce à l'axiome 7, on envoie A sur l'axe des abscisses et B sur l'axe des ordonnées. Le point d'arrivée de B est V, et on appelle H la projection de B sur Oy. On trouve alors que la longueur de VH est ³√m !

racine_cubique

Passons aux choses sérieuses, pour trouver une solution de x³+px²+qx+r=0 !
On pose :
a=(q+1)/2
b=1
c=-r
d=-(p+r)/2
On construit enfin les points A=(a,c) et B=(b,d). On termine de la même façon que pour le cas particulier : on plie de manière à envoyer A sur l'axe des abscisses et B sur l'axe des ordonnées en V. En notant H la projection orthogonale de B sur Oy, on trouve que la solution x de notre équation vérifie x=VH/HB !

equation_3edegRésolvons par exemple x³-6x²+11x-6. On a :
a = 6
b = 1
c = 6
d = 6
On a alors A=(6,6) et B=(1,6).
On plie ensuite de manière à envoyer A sur Ox et B sur Oy : trois solutions sont possibles, B peut être envoyé sur V, V' ou V''. Chaque point représente une solution : VH/HB=1, V'H/HB=2 et V''H/HB=3 sont trois solutions possibles de notre équation !

Bref, l'origami, c'est la porte ouverte aux équations du troisième degré ! (Et à celle du quatrième degré, puisque n'importe quelle équation du 4eme degré peut se ramener à une équation du troisième). On peut construire tout ce qui s'écrit avec des +, -, ×, ÷, √ et ³√ !

En fait, on a beaucoup trop d'axiomes ! En gardant seulement l'axiome 2 et l'axiome 7, on peut construire exactement les mêmes points !


Sources :
Les travaux de Jacques Justin et de Robert J. Lang.