(Pour un évident respect de l'imaginaire des plus jeunes qui lisent ce blog, nous conviendront que c'est bien le Père Noël qui emballe les cadeaux, et non on ne sait quel parent proche.)

Pour tous les 25 décembre, le père Noël (aidé de ses amis les lutins) doit emballer un bon milliards de cadeaux, de tous genres. Des ballons (de foot, de rugby) pour les sportifs, des livres de philosophie, des rouleaux de sopalins, des selles de cheval, des chapeaux chinois des tours de refroidissements de centrales nucléaires... Et toujours le même problème : comment emballer tous ces cadeaux sans froisser le papier ?...

Puisque l'on a tous déjà emballé des cadeaux, on peut ranger les objets en deux catégories : celle que l'on emballera sans s'énerver, et celle ou on trouvera qu'on plie un peu trop le papier cadeau.

Le père Noël adorerait n'avoir à livrer que des enfants sages qui ne s'intéressent qu'aux livres de philosophie, c'est à dire, un simple polyèdre où toutes les surfaces sont plates, donc faciles à emballer. Mais tout n'est pas si simple !
Par exemple, le rouleau de sopalin, de forme cylindrique (en forme de cylindre de révolution, pour être plus précis) reste pratique à emballer, puisqu'on fait facilement le tour avec le papier cadeau sans le froisser.
Facile à emballer également, le chapeau chinois, de forme conique (soyons précis : un cône de révolution). On le pose sur le papier cadeau, puis on fait tourner !

Mais le monde est rempli de footballeurs en puissance : comment emballer un ballon de foot sans multiplier les plis ? On sait bien que c'est impossible, ce qui rend difficile de faire des cartographies du globe terrestre.

Surfaces développables
Plans, cylindres, cônes... Toutes ces surfaces ont un point commun : elles sont facile à envelopper ! Enfin, on dira plutôt qu'elles sont développables ! On dit qu'une surface est développable si on peut l'obtenir à partir d'une feuille de papier sans la froisser. D'un autre point de vue, on peut dire que les surfaces développables sont celles que l'on peut faire rouler sans glisser.

Et les exemples de manquent pas ! Faisons un petit tour des surfaces développables les plus simples du bestiaire mathématiques !

- Les cylindres -
Tout le monde sait ce qu'est un cylindre : c'est la surface que l'on obtient en faisant tourner autour d'un axe une droite parallèle à cet axe :

cylindrederevolution

Eh non ! En fait, c'est bien un cylindre, mais un cylindre de révolution. Un cylindre quelconque, l'ensemble des droites passant par une courbe donnée et parallèle à un axe donné. En prenant par exemple comme courbe de base un trèfle à 3 feuilles (Un trifolium), on obtient le cylindre suivant :

cylindre

- Les cônes -
Le cône, c'est ce que l'on obtient en faisant tourner autour d'un axe une droite qui coupe cet axe...

cone_revol

Oui, si on parle d'un cône de révolution ! Dans le cas général, on parle de cône pour l'ensemble des droites passant par une courbe et un point donné. Le cône de révolution s'obtient avec un cercle pour courbe de base. En partant d'un trifolium, on obtient le cône suivant :

cone_trifol

(Bon, évidement, j'ai un peu dévié de mon sujet initial : emballer un cône de trifolium, ce n'est pas du tout évident !)

- La surface de Möbius -
Prenez une bande de papier, puis collez une extrémité à une autre en lui faisant faire un demi-tour : vous obtenez un ruban de Möbius. En prolongeant un ruban de Möbius, on trouve la surface de Möbius (C'est que que l'on obtiendrait si, au lieu de prendre un ruban, on prendrait la feuille toute entière, ce qui n'est pas faisable dans la pratique, puisque la feuille devrait s'auto traverser)

Mobius

Surfaces réglées
Toutes ces surfaces développables ont un point commun : ce sont des surfaces réglées ! Une surface est réglée quand, par n'importe quel point, passe une droite. On peut aussi dire qu'une surface est réglée quand elle est engendrée par une droite qui bouge.
Pour le cône, par exemple : en prenant n'importe quel point sur le cone, la droite passant par ce point et le sommet sera contenue dans le cône (par définition du cône). Le cône est bien une surface réglée. De même pour le cylindre ou la surface de Möbius (qui, par leur définition, sont générées par une droite).

Toutes les surface développables sont réglées (Car on les obtient en déformant une feuille de papier - évidement réglée - sans faire de pli), mais les surfaces réglées sont elles toutes développable ?

Évidemment, la réponse est non (Parce que, sinon, il n'y aurait pas lieu de donner deux noms différents), mais pour s'en convaincre, le mieux est de faire une petite expérience !

- L'hyperboloïde -
Prenez deux cercles de carton, que vous percez de trous sur le pourtour régulièrement espacés. A l'aide de fil, cousez les deux disques. En le tirant, vous devriez obtenir le squelette d'un cylindre de révolution. (a) Les fils étant tendus, le cylindre est bien une surface réglé. En tournant les disques de carton, vous devriez obtenir un cône de révolution (c), et entre les deux, vous aurez une hyperboloïde (b) ! L'hyperboloïde (à une nappe, il existe une variante en deux morceaux) est une surface réglée (l'expérience le prouve), mais n'est pas développable (Vous pouvez toujours tenter de l'emballer sans plis...) !

hyperboloidehyperb_droitescercles

La surface obtenue, l'hyperboloïde, se retrouve dans l'architecture, notamment dans les cheminées de centrales ou dans les châteaux d'eau :

chateaudO

- Paraboloïde hyperbolique -
L'autre exemple le plus simple de surface réglée est l'hyperboloïde hyperbolique - Ou plus simplement, "selle de cheval", qui est la forme de la chips :

chips

Tout ça pour dire aux enfants que, si vous aimez vraiment le père noël, demandez-lui seulement des bouquins de philosophies, c'est beaucoup plus pratique à emballer...


Sources :
La plupart des images proviennent du site mathcurves.
Les images de l'expérience viennent de Sciences & Vie Junior (n°231, décembre 2008)