(Il convient, avant tout autre chose, à vous souhaiter une très bonne année 2009 ! (Car, est-il bon de le rappeler, 2009 est divisible par 7, et 7, ça porte bonheur ! Si si !). Passons à présent à un article qui n'a absolument aucun rapport !)

La chambre de Penrose
Au matin du deuxième jour, Dieu dit "Que la lumière soit". Et comme Dieu est super fort, la lumière fut !... Sauf dans la chambre de Penrose !

Dans les années 50, Ernst Straus remarqua que quand on recouvrait une pièce de miroirs et que l'on allumait une bougie quelque part, toute la pièce était éclairée, peut importe la forme de la pièce et la position de la bougie. Pour vraiment n'importe quelle pièce ?...

StLrauss posa alors les deux questions suivants :

- Existe t'il une forme de chambre inilluminable depuis un point précis : si une bougie se trouve à ce point-ci, il restera des zones d'ombres ? (1)
- Existe t'il une forme de chambre inilluminable depuis n'importe quel point : peu importe où la bougie se trouve, il restera des zones d'ombres ? (2)

On dit qu'une pièce est illuminable depuis une source lumineuse, si on peut arriver à n'importe quel autre point de la pièce par réflexions. Par exemple, dans cette chambre en L, on peut arriver au point M depuis la source S par réflexion. Peu importe la position de S et de M, on pourrait trouver un chemin par réflexion.

Les questions ne sont pas restées longtemps sans réponse, puisqu'en 1958, Penrose trouva une solution, à base d'ellipses, solution qui répond aux deux questions à la fois (Ici, peu importe la position de la lampe (en jaune), il restera toujours au moins une zone d'ombre) :

Penrose

La chambre de Tokarsky
Mais cette solution n'est pas complètement satisfaisante : il y a des arcs d'ellipses ! Et si on cherchait à répondre à la question en considérant seulement des polygones ?

Il faudra attendre 1995 pour avoir enfin des bribes de réponse pour cette question : il existe bien des pièces polygonales où certains emplacement de lampe empêcheront d'illuminer totalement la pièce. La chambre trouvée est une chambre à 26 murs. Une pièce à 24 murs, partageant les mêmes propriétés, a été découverte 2 ans plus tard par Castro. En voici les plans :

Chambres

En plaçant une bougie (ponctuelle) sur l'un des point rouge de la chambre de Tokarsky ou de Castro, il restera effectivement des zones d'ombres. Mais il y a un petit hic : si on déplace un tout petit peu la bougie, la pièce sera à nouveau entièrement éclairée ! Si on considère une bougie non ponctuelle, la question reste à l'heure actuelle toujours ouverte !

Dans le cas polygonal, la question 2 est également toujours ouverte ! Avis aux amateurs !


Sources :
Illumination Problem.html, depuis MathWorld (D'où proviennent les illustrations de l'article)