pmm_4
(Jj - "5 ans et demi", classe de CP)

Après avoir recopié du mieux que je pouvais 6 fois la lettre "a" en attaché, la maîtresse nous laissait une liberté : dessinez une frise en bas de la page !

pmm_2
(Jj - "5 ans et demi", 3 jours plus tard)

A l'époque, le concept de la frise, c'était pour moi un motif qui se répète sur une ligne. Au cours de mon premier mois de prépa, toutes mes frises se ressemblait plus ou moins, jusqu'au jour où j'ai innové :

pmm_1
(Jj - "5 ans et demi", 1 mois plus tard)

La grande innovation, c'est que je venais de briser la symétrie ! Dans cette nouvelle frise, il n'y a plus que des translations ! Je ne m'en étais pas encore rendu compte, mais c'est surement à partir de ce jour là où j'ai compris qu'il existait plusieurs groupes cristallographiques distincts de frises !

Avant tout, définissons une frise un peu plus formellement : une bande de papier, c'est que que l'on trouve entre deux droites parallèles dans un plan. Sur cette bande, un dessin D est fait (un dessin, c'est simplement un sous-ensemble des points de la bande). On dit que D est une frise si on peut trouver une translation qui ne bouge pas la frise (Répétition d'un motif).

pmm_3

Quelle est exactement le point commun entre les deux premières frises, et qui la différencie de la troisième ? Leur groupe cristallographique, évidement !

Les isométries

Une isométrie, rappelons-le peut-être, est une transformation qui "bouge" un objet sans modifier ses proportions (qui conserve les distances). Dans le plan, il n'en existe que 4 type :
- La translation (De vecteur donné)
- La rotation (De centre et d'angle donné). Ce que l'on appelle "symétrie centrale" est en fait une rotation, dont l'angle vaut un angle plat.
- La symétrie axiale (D'axe donné)
- La symétrie glissée (D'axe et de vecteur donné), moins connue. Elle s'obtient en effectuant d'abord une symétrie axiale, puis en effectuant une translation dont le vecteur est dans la même direction que l'axe.

isometries

Et ces différentes isométries, on peut les retrouver dans nos frises.
La translation se retrouve obligatoirement dans toutes les frises (par définition)
La symétrie se retrouve dans mes deux premières frises : ce sont des symétries d'axe horizontale.

Groupe cristallographique
On appelle "groupe cristallographique" d'une frise l'ensemble des isométries que l'on peut trouver dans cette frise (Quand je dis "que l'on peut trouver", ce sont les isométries qui laissent le dessin invariant). Prenons par exemple cette frise de WOUF :

Wouf

En cherchant un peu, on trouve :
- Des translation (de vecteur horizontal)
- Des centres de symétries centrales (des rotations)
- Des symétries axiale : une d'axe horizontal et un tas d'axes verticaux
- Des symétries glissées (puisqu'il il y a une symétrie d'axe horizontal et des translation)

Wouf2

Le groupe cristallographique de cette frise est donc composé des translations, symétries centrales, symétries axiales verticales, horizontales et glissées.

Finalement, on peut définir une frise seulement à partir de son groupe d'isométries. Quelles sont les isométries que l'on peut à priori trouver dans une frise ? Il faut réfléchir aux isométries qui vont laisser la bande de papier tranquille (On supposera que la bande est horizontale):
- Des translations ? Il nous la faut forcément de vecteur horizontal !
- Des rotations ? Seule la symétrie centrale est une rotation acceptable, et son centre doit être sur l'axe horizontal de la bande !
- Des symétries axiales ? Seules les symétries d'axes verticaux ou horizontaux sont acceptés, et pour ce dernier, le seul axe accepté est l'axe de la bande !
- Des symétries glissées ? Il faut que son axe soit celui de la bande !

Moralité : dans un groupe cristallographique, on peut avoir, au choix :
- Des translations
- Des symétries d'axe verticaux
- Des symétries (glissées ou non) d'axe horizontaux (de même axe que la bande)
- Des symétries centrales (le centre étant sur l'axe de la bande)

Et quand on prend deux transformations, la composée des deux sera forcément dans le groupe également. par exemple, si on a une translation et une symétrie horizontale, on aura forcément une symétrie glissée.

Les n types de frises
Combien de types de frises sont possibles ?...

Maintenant que l'on sait ce que l'on peut mettre dans notre groupe cristallographique, il n'y a plus qu'à expérimenter. On va adopter la notation des cristallographes, qui notent les groupes sous la forme px1x2x3 :

p : le premier caractère est p si le groupe contient des translations (ce qui est toujours le cas, c'est le b.a.-ba des frises !)
x1 : ce caractère est m s'il y a des symétries d'axe verticaux, et 1 sinon
x2 : ce caractère est m s'il y a des symétries d'axe horizontaux, a si elles sont toutes glissées et 1 sinon
x3 : ce caractère est 2 s'il y a des symétries centrales, et 1 sinon.

Cela donne à priori 12 configurations possibles, mais certaines vont s'avérer impossibles

* pmm2 (Translations, symétries verticales, symétrie horizontale, symétries centrales)

Wouf

* pmm1 (Translations, symétries verticales, symétrie horizontale)

Impossible ! Si on a une symétrie verticale et une symétrie horizontale, on aura forcément la composée des deux, c'est à dire, une symétrie centrale !

* pma2 (Translations, symétries verticales, symétries glissées, symétries centrales)

Miaou

* pma1 (Translations, symétries verticales, symétrie glissées)

Impossible ! Quand on fait dans l'ordre une symétrie horizontale glissée, une symétrie verticale et une translation, on peut se retrouver avec une symétrie horizontale non glissée !

* pm12 (Translations, symétries verticales, symétries centrales)

Impossible ! Comme dans le cas précédent, la composée des trois risque de donner une symétrie horizontale.

* pm11 (Translations, symétries verticales)
(Les deux premières fraises de l'article sont de ce type)

Jeanquirit_jeanquipleure

* p1m2 (Translations, symétrie horizontale, symétries centrales)

Impossible ! Symétrie d'axe horizontale + symétrie centrale = symétrie d'axe vertical.

* p1m1 (Translations, symétrie horizontale)

Pouet

* p1a2 (Translations, symétries glissées, symétries centrales)

Impossible !

* p1a1 (Translations, symétrie glissées)

Mouais

* p112 (Translations, symétries centrales)

bouboules

* p111 (Translations)

Ping_pong

Cela donne donc 7 frises possibles ! A présent, sortez tous vos cahiers de primaires, et comparez votre niveau de créativité !


Sources :
Tangente, les transformations de la géométrie à l'art (HS n°35)