Il y a exactement 2 semaines, ici même, c'était la fête aux frises : ça parlait d'isométries et de groupes cristallographiques d'une bande de papier !

Mais dans une bande de papier, on se sent rapidement à l'étroit, il nous manque une dimension pour que l'on se sente vraiment à l'aise. Passons donc au plan, arrêtons de faire des frises, et faisons plutôt aux pavages, comme les arabes ont pu le faire pour décorer l'Alhambra.

Un pavage, c'est comme une frise, mais en 2 dimensions : la répétition d'un motif (borné) de base selon des translations. Et comme pour les frises, on s'aperçoit qu'il existe différents types de pavages suivant les différentes isométries que l'on retrouve à l'intérieur.

Les 17 types de pavages
La discussion qui permettait d'aboutir à l'existence des 7 types de frises était pénible... Celle qui permet d'aboutir à l'existence de exactement 17 types de pavages est encore pire ! (Et c'est essentiellement pour ça que je ne vais pas en parler !)

Mais comme il faut quand même donner des exemples de pavages quand on fait un article qui en parle, en voici quelques exemples (Actualisez la page si vous en voulez d'autres !)
- Les droites pleines représentent les axes de symétrie
- Les droites en pointillés représentent les axes de symétrie glissées
- Les points jaune représentent les centres de symétries centrales
- Les points bleus représentent les centres de rotation d'angle π/2 (90°)
- Les points rouges représentent les centres de rotation d'angle 2π/3 (120°)
- Les points verts représentent les centres de rotation d'angle 2π/6 (60°)

(Et si vous aimez vraiment, cliquez ici pour afficher les 17 pavages)


Le domaine fondamental de Dirichlet
C'est chouette de connaitre tous ces types de pavages, mais ce qui le serait encore plus, ça serait de dessiner soit même un pavage du plan euclidien, pour décorer sa chambre, sa chemise ou faire de l'art islamique !

Pour un type de pavage donné, il nous faudrait connaître la façon dont il faut découper un motif de base., qu'il suffira de reporter pour obtenir le pavage entier. Ce motif de base s'appelle le domaine fondamental du pavage, et on va tout de suite découvrir la recette pour se le fabriquer, donnée par Dirichlet.

Pour la suite, nous allons considérer que vous êtes fan n°1 des pavages carrés 4-rotatif (Une seule direction d'axe de symétries sans glissages) et, ensemble, nous allons construire le domaine de Dirichlet !

Pour commencer, on dessine le groupe cristallographique du pavage qui nous intéresse (On trace les axes de symétries, les centres de rotations et les vecteurs de translation) puis on choisit un point O au hasard (en dehors des axes et des centres déjà dessinés).
On dessine ensuite les images du point O par les différentes isométries du groupe cristallographique. Le domaine fondamental, ça sera l'ensemble des points plus proches de O que de ses images (Pour trouver ces points, on trace les médiatrices entre O et ses images, et on prend les points à l'intérieur).

Exemple du pavage p4

Dans l'exemple suivant, le groupe cristallographique de p4 est représenté par les centres de symétrie centrale et de rotations d'angle 90°, et les deux vecteurs de translation. On prend un point O quelconque, (ici, en violet) et on dessine ses images (ici en noir) : après avoir dessiné les médiatrices entre O et les points les plus proches (ici, en pointillés oranges), on trouve le domaine fondamental de Dirichlet du point O.

Dirichlet_p4
fig1 : domaine fondamental de Dirichlet du pavage p4

On pourrait maintenant prendre ce polygone, et paver entièrement le plan avec. Mais ce polygone n'est pas assez tordu, on ne va donc pas s'arrêter là !

Puisqu'en bleu et en jaune, nous avons des centres de rotations, on peut voir que certains les côtés du domaine fondamental correspondent deux à deux, de part et d'autre de ces centres. On peut alors redessiner les côtés, tout en gardant la correspondance.

Dirichlet2

Celà permet d'obtenir un motif fondamental, avec lequel on peut parfaitement paver l'espace !

Dirichlet_pavage

Exemple du pavage p31m
Allez, un autre exemple !

Le pavage p31m (Hexagonal 3-rotatif symétrique) est composé de rotations d'angle 120° et de 3 directions de symétries axiales. Construisons un domaine de Dirichlet :

Dirichlet_p31m

Comme précédemment, on peut identifier des côtés, pour obtenir un joli résultat :

Dirichlet3

Dirichlet_pavage2