Finalement, des mots croisés/fléchés, ce n'est ni plus ni rien que des mots dans une grille. Dans le monde des jeux-où-il-faut-trouver-des-mots-à-partir-d'une-définition, il existe de nombreuses variantes, comme les annagrames, les mots codés toussa. Les jeux de nombres comme le sudoku ou le kakuro se sont engouffrés dans la brèche des jeux de grilles, mais dans le fond, tout ça, c'est pareil : simplement des grilles...

La révolution arrive !

Les pavages par polygones réguliers

Une grille, ce n'est ni plus ni moins qu'un pavage fait à partir de carrés : on part d'un carré, et on fabrique tous les autres par translation à partir du premier (c'est le principe de base des pavages périodique). On peut voir les choses autrement : chaque carré s'obtient à partir d'un précédent par une rotation d'angle 90° (360°/4)

Pavage_carr_s
On obtient Carré' à partir de Carré par une rotation d'angle 90°. La répétition de l'opération permet de retomber sur le premier carré

Et si on tentait de faire un pavage à partir de pentagones réguliers (5 côtés de même longueur, et 5 angles égaux) ? On pose d'abord un premier pentagone, puis un deuxième par une rotation d'angle 108° (angle du pentagone), puis un troisième. On a alors pavé sur 108°×3=324°.  Un effectuant une quatrième fois la rotation, on dépasse les 360°, et le nouveau pentagone sera à cheval sur le premier : le pavage est complètement foutu !

Pavage_pentagones
Essai de pavage avec des pentagones : le quatrième pentagone est à cheval sur le premier.

Pour pouvoir paver avec des polygones réguliers, il faut que l'angle du polygone divise 360° : en procédant par rotation, cela permet de retomber sur le polygone original.
Quand on ajoute à ça le fait qu'un polygone régulier à n côtés forme un angle  au sommet de (n-2)/n×180°, on peut trouver très facilement les polygones réguliers qui permettent de paver le plan :

polyreg

Finalement, il n'y a que 3 moyens de paver le plan par un seul type de polygone régulier : le pavage par triangles équilatéraux, le pavage par carrés et le pavage par hexagones réguliers. La révolution des mots croisés est là ! La grille d'hexagones !... Sauf que, ça a déjà été fait !

MChexa
Grille de mots croisés hexagonaux

La géométrie hyperbolique

Impossible de paver avec autre chose que des hexagones, carrés et triangles équilatéraux... Quand on veut faire bouger les choses, on ne s'arrête pas à ce genre de considérations complètement euclidienne... Les pavages avec des octogones, c'est possible ! Il faut juste s'en donner les moyens, quite à redéfinir tout ce que l'on connaît de la géométrie, grâce à la géométrie hyperbolique !

Dans la géométrie telle qu'on la connaît tous (la géométrie euclidienne), le plan est plan, les droites sont droites et les parallèles ne se rencontrent jamais.

Dans la géométrie hyperbolique, les choses sont complètement différentes : dans le modèle le plus utilisé, le plan est un disque, les droites sont des arcs de cercle et les parallèles... ne se rencontrent pas non plus, il y a quand même des choses qui ne changent pas !
Soyons un peu plus précis. Ce que nous allons maintenant appeler plan, c'est le plan hyperbolique, que l'on représente par le disque de Poincaré : un disque auquel on a retiré le bord. Les points du plan hyperbolique sont donc les points à l'intérieur de ce disque. Ce que l'on appelle droite hyperbolique (ou géodésique), ce sont soit les diamètres du cercle (comme h), soit les arcs de cercle qui coupent le grand cercle en formant un angle droit (comme d).

Poincare
Le disque de Poincaré : d, h, p et k sont des droites !

Dans cette géométrie, on peut voir que par un point extérieur à une droite peuvent passer autant de droites parallèles que l'on souhaite (Par exemple, par les droites p et k passent par le point L et sont parallèles à d). Un telle configuration ne peut arriver dans le plan euclidien où, par un point extérieur à une droite ne passe qu'une seule droite parallèle !

Deuxième point important : dans la géométrie hyperbolique, la somme des trois angles intérieurs d'un triangle est toujours strictement inférieure à 180°. Par exemple, dans le le triangle DEF ci-dessous, la somme des trois angles est de 123.59°. Le triangle ABC est encore pire, puisque la somme des trois angles intérieurs est de 0° !

Triangles_geodesiques

La somme des angles d'un triangle hyperbolique est inférieure à 180°. A droite, un triangle idéal : la somme de ses angles est nulle !

Dernier point important : les longueurs sur le plan hyperbolique ne sont pas vraiment intuitives. Plus on est "près" du bord du disque, plus le plan est "dilaté". Deux points proches du bord du disque peuvent paraitre rapprochés mais sont éloignés dans la réalité du monde hyperbolique. Dans l'exemple ci-dessous, les trois couples de points représentés sont à des distances égales (à noter que le segment dessiné n'est pas le plus court chemin pour aller d'un point à l'autre, le plus court chemin, c'est l'arc de cercle !)

longueurs_hyperboliques
Les trois couples de points sont à des distances égales !

Pavages hyperboliques

Des droites courbées, des triangles aux angles inattendus... On est en droit de s'attendre à des choses bizarres pour les polygones réguliers... Et nous avons raisons !

Un polygone régulier, c'est un polygone qui a tous ses angles égaux et toutes ses longueurs égales. A quoi ça ressemble, un polygone régulier hyperbolique ?

Dans le plan euclidien, un polygone régulier à n côtés a pour angle intérieur 360°/n ; les triangles sont isocèles, donc l'angle au sommet est de 180°-360°/n = (n-2)/n×180°.
Dans le plan hyperbolique, un polygone régulier aura toujours un angle intérieur de 360°/n, mais la somme des angles d'un triangle est inférieure à 180°. Le résultat, c'est que les angles au sommet des polygones réguliers sont toujours inférieurs à (n-2)/n*180°. On peut d'ailleurs dessiner de tels polygones avec n'importe quel angle entre 0 et (n-2)/n*180° !

angles

Puisqu'un carré (euclidien) a pour angle 90°, les carrés du plan hyperbolique n'ont pas d'angles droits, mais strictement inférieurs. De même, un pentagone qui fait 108° dans la vie euclidienne peut parfaitement avoir 5 angles droites ! Les remarques tout en haut de cet article reste vraie : on peut paver le plan par rotations si l'angle au sommet du polygone régulier divise 360°. Puisque l'angle au sommet peut être choisit comme on veut, il devient possible de paver avec n'importe quel polygone régulier !

 

Par exemple, en prenant un angle au sommet de 120° degré, on pourra paver en posant trois polygones autour de chaque points. Un tel angle est trouvable pour n'importe quel polygone régulier ayant suffisamment de côtés.

HyperbolicTilings_800
Pavages hyperbolique par des heptagones, octogones et ennéagones

Ce genre dessins a inspiré le graveur hollandais M.C. Escher :

Escher___Da_Circle
Da Circle - Escher

Reste plus qu'à trouver des cruciverbistes capables de remplir des grilles hyperboliques ! (De carrés, ou d'hexagones !)

Cruci


Sources :
Gallery : hyperbolic tiling - tout un tas de zolies images !