Previously, on Broccoflower, laughing cow and curve integral :
"Finalement, il n'y a que 3 moyens de paver le plan par un seul type de polygone régulier : le pavage par triangles équilatéraux, le pavage par carrés et le pavage par hexagones réguliers."

Pavages fins dénombrables du plan
Mais quand je regarde le pavage du plan par des carrés, quelque chose me chiffonne  :

pavages_carr_s
Pavage par des carrés fermés : les carrés se recouvrent

Les carrés que l'on considère pour faire nos pavages ne sont pas des carrés géométrique (4 points qui forment un carré) mais des carrés topologiques, c'est à dire, un ensemble de points. Ici, cet ensemble est {(x,y)∈ℝ²|0≤x≤1, 0≤y≤1}, c'est à dire que les points qui appartiennent au carré violet de gauche sont les points "à l'intérieur" du carré, ainsi que les points frontières, ceux qui sont au bord de ce carré. (Un tel carré  qui contient ses points frontière est dit "fermé")
Dans le pavage par de tels carrés, un problème se pose sur les côtés des carrés : un point appartenant au côté d'un carré appartient t'il à ce carré ou à son voisin ?... Il appartient aux deux carrés en même temps, et ça, ce n'est pas du tout satisfaisant ! (Le problème est encore plus grand pour les sommets des carrés, qui appartiennent à 4 carrés en même temps !)

On peut résoudre le problème en ouvrant le carré, en lui retirant 3 sommets et deux côtés (soit le carré {(x,y)∈ℝ²|0≤x<1, 0≤y<1}). En pavant avec un carré mi-fermé, mi-ouvert, il n'y a plus d'ambigüités : à chaque point du plan correspond un unique carré :

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Pavage fin par des carrés : il n'y a plus de recouvrements

Un tel pavage est appelé "pavage fin", "pavage parfait" ou "partition".
Le problème des carrés se retrouve également avec le pavage par hexagones ou par triangles équilatéraux. Cependant, le pavage fin par hexagones est faisable :

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Pavage fin par des hexagones

Mais le pavage fin par triangles équilatéraux est impossible ; pour qu'un tel pavage fin existe, il faut que le triangle de base possède au moins un sommet. Seulement, chaque triangle possède 5 voisins à chaque sommet, entrainant nécessairement un recouvrement sur un sommet.

Pavages fins de la droite
Dans ces deux exemples, les pavés de base ont une aire non vide...
Mais le plan ℝ² en entier, c'est un ensemble infini de points, autrement dit, un pavage fait de points (et un point, ça n'a pas d'aire !). Le plan ℝ², c'est également un pavage de droites toutes parallèles, puisque par tout point passe une unique droite parallèle à une donnée ! Une droite n'a pas d'aire, c'est également un pavage d'objets sans aire (Sans intérieur) !

 

Descendons d'une dimension, et intéressons nous à la droite ℝ. Comment peut on la paver finement ?
On peut la paver avec des points, mais le résultat n'est pas des plus intéressant :

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Pavage fascinant de la droite par des points...

Il doit être également possible de paver le plan à l'aide de segments. Il existe trois type de segments : (avec a<b) les segments fermés [a,b] (l'ensemble des nombres entre a et b, a et b inclus), les segments ouverts ]a,b[ (l'ensemble des nombres entre a et b, a et b exclus) et les segments semi-ouverts [a,b[ ou ]a,b] (l'ensemble des nombres entre a et b, a inclus et b exclus, ou l'inverse)

- Les segments semi-ouverts [a,b[ pavent parfaitement finement la droite. On peut même les prendre tous de même longueur, en prenant l'ensemble des segments unités [n,n+1[ (A chaque point de la droite correspond bien un segment)

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Pavage fin de la droite par des segments unités semi-ouvert

- Les segments ouverts ne peuvent paver finement la droite réelle. Une fois qu'un segment ]a,b[ est placé, il devient impossible de placer un nouveau segment sur le point A !

- Les segments fermés ne peuvent non plus paver finement le plan. On peut s'en convaincre avec le cas où tous les segments sont de même longueurs. Sans perdre de généralité, on peut supposer qu'un premier segment [0,1] (a) est posé. En supposant qu'un pavage existe, il y a un segment unité fermé qui passe par le point 2 (b). Il reste donc un trou entre les deux, dans lequel le segment unité c ne pourra pas entrer ! Un tel pavage ne peut exister !

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Impossibilité du pavage fin de la droite par des segments fermés

Pavages fins du plan par des segments
La droite réelle ne peut être pavée que par des segments semi-ouverts, mais ce n'est pas le cas pour le plan, où presque tous les types de segments peuvent le paver !

Reprenons : le plan peut se paver finement par des droites. Puisque le pavage de la droite par des segments semi-ouverts est évident, celui du plan l'est encore plus !

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A gauche, le pavage fin du plan par des droites
A droite, le pavage fin du plan pas des segments semi-ouverts

Évidement, le pavage par des segments ouvertes ou fermés n'est pas aussi simple, mais reste faisable si on s'accorde le droit de prendre des segments de différentes tailles :

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Pavage fin de segments ouverts de différentes tailles

Ici, le rectangle central (violet) est rempli de segments ouverts horizontaux,. Ce rectangle est sans bord : les segments du haut et du bas de la pile ne sont pas présents (représentés en pointillés). On pose à côté de cette pile (violette) deux piles de segments verticaux (rouges). Les segments les plus éloignés de la pile violette ne sont pas présent, les plus proches sont présents. On continue le processus en posant les piles de segments bleus, de segments verts et ainsi de suite.

Le pavage du plan par segments fermés se fait sur le même modèle :

pf_plan_ferm
Pavage fin de segments fermés de longueurs différentes

La différence avec le pavage précédent est que le rectangle central est cette fois-ci fermé (il contient ses bords). Lorsque l'on, ajoute une nouvelle pile, le segment le plus proche du milieu de la figure est ôté.

Un pavage avec des segments fermé de même longueur est également possible (Alors qu'elle est impossible avec des segments ouverts de même longueur) ! Mais sa réalisation est complètement tordue (donné par John Conway et Hallard Croft) :

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Pavage fin du plan par des segments fermés unitaires

On commence par faire une pile infinie (en violet), puis on ajoute deux nouvelles piles perpendiculaire à la première (en rouge). Les premiers segments ne ces piles ne sont pas présents. On ajoute ensuite deux nouvelles piles (bleues) sur chacune des piles précédente, en enlevant toujours le premier segment. On continue à ajouter deux piles par nouvelle pile (en vert), pour combler les trous, ce qui finira par paver entièrement le plan.

Pavage fin du plan par des cercles
Un dernier exemple pour la route : peut-on paver finement le plan par des cercles ? (Attention, pour qu'un cercle puisse être appelé ainsi, il faut que son rayon soit strictement positif)

Si on se lance dans la réalisation d'un tel pavage, on va rapidement essayer de faire des cercles concentriques, et aboutir un cul-de-sac, puisque tous les cercles doivent avoir un rayon strictement positif. Cela ne semble pas vraiment possible de faire un tel pavage...

Imaginons quand même qu'il en existe un : par tous les points du plan passe un seul et unique cercle du pavage. Appelons C0 le cercle qui passe par le point (0,0). C'est un cercle de rayon r0 et de centre O0. On appelle C1 le cercle qui passe par O0. Ce cercle a pour centre O1 et pour rayon r1.
On a ainsi une suite de cercles emboités C0, C1, C2,... , et de rayons r0, r1, ... avec rn+1<rn/2 . La suite (rn) converge vers 0, donc la suite des points O0, O1,... converge vers un point L. Le problème, c'est que si un cercle passe par ce point L, il sera de rayon nul (car il est emboîté à tous les cercles de la suite), de rayon aussi petits que l'on veut), chose que l'on s'interdit... Un tel pavage ne peut donc pas exister !

pf_plan_cercles

Le pavage fin par des cercles est donc impossible... Tout comme le pavage par tout ce qui possède des boucles, comme des ellipses, des g, R ou des Q !

Mais il reste encore tout un tas de question en suspend...  Peut-on paver le plan avec des Y ? Peut-on paver l'espace avec des sphères ? Avec des cercles ? Peut-on paver finement la sphère ?... Les réponses à toutes ces questions dans 2 semaines !


Sources :
Les pavages fins - Pour la science, n°361 novembre 2007