Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes

Leibnizdx

Récemment, un collègue blogueur nous parlait de cette étrange formule, découverte :

formule_texas

Pour un bachelier scientifique, l’erreur doit sauter aux yeux : la même variable est utilisée comme variable muette, et dans l’intervalle d’intégration… Enfer et damnation ! On peut tout de même accorder le bénéfice du doute à Casio : peut-être faut-il différencier les X majuscule des x minuscules, et la formule aurait bien un sens… Dans le deuxième cas, le calcul est très loin d'avoir un intérêt quelconque... La bonne version ça serait plutôt :

formule_texas_2

Mais au fait, c’est quoi ce ∫ et ce dx qui viennent se balader autour de notre fonction ? Leibniz, on a besoin de toi !

Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz
Qu'il est beau, Gottfried

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1er juillet 1646 - 14 novembre 1716) (Après maintes vérifications, ces dates sont exactes...) est celui qui nous a inventé cette symbolisation plutôt étrange, en faisant la découverte mathématique du calcul différentiel ! L’a-t-il découvert de lui-même, ou dans les manuscrits de Newton (qui a aussi découvert le calcul différentiel au même moment, et qui a très mal pris le fait de ne pas avoir été le premier à publier...), la polémique ne désenfle toujours pas. Une chose est sûre, c'est lui qui détient le secret de ces notations étranges !

Remontons à l'origine de la découverte, et la question alors primordiale : étant donné une courbe, comment trouve-t-on ses tangentes ? L'idée de Gottfried est le triangle caractéristique, que l'on obtient en traçant une sécante TAA' à la courbe. Le triangle caractéristique est ici le triangle AA'D.

derivee

Dans le cas général, nos deux triangles AA'D et TAB sont semblables (proportionnels). Mais que se passe t'il quand les points A et A' sont confondus ? Dans le cas où la droite est tangente à la courbe, les deux points A et A' coïncident, et le triangle caractéristique devient infiniment petit... L'hypoténuse de notre triangle infiniment petit, c'est la tangente à la courbe. Le bon côté, c'est qu'il existe toujours dans une version grand format de ce triangle, grâce au triangle TAB !
On appelle alors AD par dx et A'D par dy ; un d qui provient de "différence". En effet, l'axe des abscisses contient une infinité de point. La longueur dx, c'est précisément la différence entre deux points successifs de cette droite, c'est à dire, une différence infiniment petite.

Maintenant, pour trouver la tangente en un point de la courbe, il suffit simplement de voir que tan(α)=dy/dx. Grâce à l'équation de la courbe de départ, le rapport dy/dx peut être calculé facilement. Ce rapport s'appelle aujourd'hui nombre dérivé, et l'idée que l'on s'en fait n'a pas changé depuis Leibniz !

formule_derivee
La définition actuelle de la dérivée : on retrouve bien la notion de différence infinitésimale

Mais notre philosophe allemand ne s'est pas arrêté en si bon chemin ! Un deuxième problème traînait depuis très longtemps : celui de la quadrature. Étant donné une courbe, comment faire pour connaître l'aire délimitée par la courbe ?

integrale

Leibniz garde la méthode qui marche : il dessine plusieurs triangles caractéristiques, délimitant un  rectangle. Tout ces rectangles forment alors un polygone inscrit sous la courbe. Toujours dans le même ordre d'idée, il rend ces rectangles infiniment petit. L'aire sous la courbe, c'est alors l'aire du polygone aux côtés infinitésimaux !
Infinitésimaux ou pas, ces rectangles restent des rectangles ! Des rectangle de hauteur h et de largeur dx, leur aire est donc  y.dx.
L'aire sous la courbe, c'est alors l'aire de tous les rectangles de bases dx, que Leibniz note omn(ydx) (comme "omnia", "tout"). Il le remplacera plus tard par un s allongé, comme "somme", qui ressemble à ∫. Aujourd'hui, pour calculer l'aire sous une courbe, on procède toujours de la même façon, en considérant l'aire des rectangles infinitésimaux sous la courbe.
La technique a été formalisée par Riemann, mais le principe reste toujours le même : on considère des rectangles infinitésimaux, et on somme leur aires.

formule_integrale
La formule actuelle de l'intégration de Riemann, bien plus tordue, mais qui rend exactement compte de l'observation de Leibniz

 

Finalement, le d, placé devant une variable la rend infiniment petite, et le ∫ la rend infiniment nombreuse. Le d représente une différence, et le ∫ représente une somme... La réciprocité est toute trouvée : les deux opérations sont inverses l'une de l'autre, et on appelle  aujourd'hui cette réciprocité sous le nom de "théorème fondamental de l'analyse"...

Finalement, dans toute cette histoire, Leibniz a inventé la dérivation et l'intégration, a découvert le théorème fondamental de l'analyse, et a même au passage inventé la notion de fonction !

A moins qu'il ne s'agisse de Newton ?


Sources :
Leibniz, le penseur de l'universel - Les génies de la science,n°28, août-septembre 2006 n°28

Posté par El Jj à 23:59 - Commentaires [4] - Permalien [#]
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Commentaires sur Leibnizdx

    Symbol

    Bonjour,

    Il me semble que cela n'explique pas le choix du symbol lui même. Après tout, pourquoi pas un gros crochet...
    Avec "Mais au fait, c’est quoi ce ∫" je m'attendais à une explication graphique, et pas sémantique. Ce qui aurait plus attiré ma curiosité.

    Mais bravo pour l'essai de vulgarisation.

    Posté par Arthur MILCHIOR, 18 mai 2009 à 23:07 | | Répondre
  • Symbol d'intégration

    >> Il me semble que cela n'explique pas le choix du symbol lui même. Après tout, pourquoi pas un gros crochet...

    D'après Wikipedia, le signe d'intégration vient du s long qui est la forme ancienne du s minuscule et qui s'écrit «ſ». Ainsi Leibnitz aurait utilisé la première lettre de l'expression en latin, summa, (« somme »), qui s'écrivait alors « ſumma » et en a conservé l'initiale.

    Posté par Jef, 19 mai 2009 à 01:19 | | Répondre
  • Leibniz, Newton ou ... Galilée ?

    Bonjour,

    petite remarque historique. Newton et Leibniz ont bien inventé le calcul différentiel et intégral. Mais on peut en voir des prémices chez Galilée plus d'un siècle auparavant, ainsi que chez des contemporains (Galilée est le plus connu, mais sur ce point, pas nécessairement le plus moteur). L'idée de considérer une aire comme une somme d'une infinité de rectangles infiniment fins, ou de considérer la vitesse comme la "dérivée" (en langage moderne) de la position d'un objet ...

    Regardez par exemple, chez Galilée, le "Discours concernant deux sciences nouvelles" (163, dans la troisième journée (le livre est divisé en "journées"), partie "du mouvement uniformément accéléré", démonstration du théorème 1 ("si un objet est uniformément accéléré, la distance qu'il parcourt est proportionnelle au carré du temps de parcours.") (joli théorème d'intégration n'est-ce pas ?)
    Je trouve étonnant de voir comment Galilée s'y prend. Et c'est compréhensible par un élève de 3me, j'ai essayé.

    Bref, l'histoire se bâtit progressivement.

    Pour ce qui est de la controverse Newton-Leibniz, j'ai entendu un historien des sciences m'affirmer qu'elle était tranchée : il y a bien eu invention simultanée et indépendante. Mais cette info de seconde main et sans référence est à confirmer.

    Posté par Charles, 20 mai 2009 à 20:50 | | Répondre
  • Pas d'erreur dans l'intégrale

    L'intégrale donnée en début du post est parfaitement correcte, et très simple à calculer (la constante sort du signe intégral, et on obtient X*sin(X)).

    Posté par Robyn Slinger, 21 mai 2009 à 15:41 | | Répondre
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