Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes

Leibnizdx

Récemment, un collègue blogueur nous parlait de cette étrange formule, découverte là :

Pour un bachelier scientifique, l’erreur doit sauter aux yeux : la même variable est utilisée comme variable muette, et dans l’intervalle d’intégration… Enfer et damnation ! On peut tout de même accorder le bénéfice du doute à Casio : peut-être faut-il différencier les X majuscule des x minuscules, et la formule aurait bien un sens… Dans le deuxième cas, le calcul est très loin d'avoir un intérêt quelconque... La bonne version ça serait plutôt :

Mais au fait, c’est quoi ce ∫ et ce dx qui viennent se balader autour de notre fonction ? Leibniz, on a besoin de toi !

Qu'il est beau, Gottfried

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1er juillet 1646 - 14 novembre 1716) (Après maintes vérifications, ces dates sont exactes...) est celui qui nous a inventé cette symbolisation plutôt étrange, en faisant la découverte mathématique du calcul différentiel ! L’a-t-il découvert de lui-même, ou dans les manuscrits de Newton (qui a aussi découvert le calcul différentiel au même moment, et qui a très mal pris le fait de ne pas avoir été le premier à publier...), la polémique ne désenfle toujours pas. Une chose est sûre, c'est lui qui détient le secret de ces notations étranges !

Remontons à l'origine de la découverte, et la question alors primordiale : étant donné une courbe, comment trouve-t-on ses tangentes ? L'idée de Gottfried est le triangle caractéristique, que l'on obtient en traçant une sécante TAA' à la courbe. Le triangle caractéristique est ici le triangle AA'D.

Dans le cas général, nos deux triangles AA'D et TAB sont semblables (proportionnels). Mais que se passe t'il quand les points A et A' sont confondus ? Dans le cas où la droite est tangente à la courbe, les deux points A et A' coïncident, et le triangle caractéristique devient infiniment petit... L'hypoténuse de notre triangle infiniment petit, c'est la tangente à la courbe. Le bon côté, c'est qu'il existe toujours dans une version grand format de ce triangle, grâce au triangle TAB !
On appelle alors AD par dx et A'D par dy ; un d qui provient de "différence". En effet, l'axe des abscisses contient une infinité de point. La longueur dx, c'est précisément la différence entre deux points successifs de cette droite, c'est à dire, une différence infiniment petite.

Maintenant, pour trouver la tangente en un point de la courbe, il suffit simplement de voir que tan(α)=dy/dx. Grâce à l'équation de la courbe de départ, le rapport dy/dx peut être calculé facilement. Ce rapport s'appelle aujourd'hui nombre dérivé, et l'idée que l'on s'en fait n'a pas changé depuis Leibniz !

La définition actuelle de la dérivée : on retrouve bien la notion de différence infinitésimale

Mais notre philosophe allemand ne s'est pas arrêté en si bon chemin ! Un deuxième problème traînait depuis très longtemps : celui de la quadrature. Étant donné une courbe, comment faire pour connaître l'aire délimitée par la courbe ?

Leibniz garde la méthode qui marche : il dessine plusieurs triangles caractéristiques, délimitant un  rectangle. Tout ces rectangles forment alors un polygone inscrit sous la courbe. Toujours dans le même ordre d'idée, il rend ces rectangles infiniment petit. L'aire sous la courbe, c'est alors l'aire du polygone aux côtés infinitésimaux !
Infinitésimaux ou pas, ces rectangles restent des rectangles ! Des rectangle de hauteur h et de largeur dx, leur aire est donc  y.dx.
L'aire sous la courbe, c'est alors l'aire de tous les rectangles de bases dx, que Leibniz note omn(ydx) (comme "omnia", "tout"). Il le remplacera plus tard par un s allongé, comme "somme", qui ressemble à ∫. Aujourd'hui, pour calculer l'aire sous une courbe, on procède toujours de la même façon, en considérant l'aire des rectangles infinitésimaux sous la courbe.
La technique a été formalisée par Riemann, mais le principe reste toujours le même : on considère des rectangles infinitésimaux, et on somme leur aires.

La formule actuelle de l'intégration de Riemann, bien plus tordue, mais qui rend exactement compte de l'observation de Leibniz

Finalement, le d, placé devant une variable la rend infiniment petite, et le ∫ la rend infiniment nombreuse. Le d représente une différence, et le ∫ représente une somme... La réciprocité est toute trouvée : les deux opérations sont inverses l'une de l'autre, et on appelle  aujourd'hui cette réciprocité sous le nom de "théorème fondamental de l'analyse"...

Finalement, dans toute cette histoire, Leibniz a inventé la dérivation et l'intégration, a découvert le théorème fondamental de l'analyse, et a même au passage inventé la notion de fonction !

A moins qu'il ne s'agisse de Newton ?

Sources :
Leibniz, le penseur de l'universel - Les génies de la science,n°28, août-septembre 2006 n°28