24 mai 2009
De la ronditude du cercle
Un cercle euclidien (de centre O, de rayon r)
Depuis la nuit des temps (au moins depuis que Grüm a inventé de la roue), nous en sommes tous convaincus : un cercle, c'est rond. Si on nous en demande plus, on peut dire que ça n'a pas d'angle, ça possède un centre parfaitement au milieu, ça a des rayons biens droits... What else ?
Seulement, il n'existe aucun concept assez simple pour ne pas être tordu par l'esprit du mathématicien. Le cercle ne peut évidemment pas y échapper !
La distance euclidienne
Un cercle, en fait, c'est quoi ? Par définition même, c'est l'ensemble des points situés à une distance donnée d'un point appelé centre. C'est même pour cela qu'on utilise un compas pour les dessiner.
On le sait grâce au théorème de Pythagore : la distance entre deux points (x0,y0) et (x,y) est donnée par la formule 
. Pour un point (x0,y0) et une valeur r donnée, la formule précédente nous donne l'équation du cercle que l'on connaît bien.
Même en oubliant la formule donnant la distance entre deux points du plan, on peut tout de même se rappeler de l'équation du cercle grâce à sa définition : le cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M tels que :
d(O,M)=r
Ici, d(O,M) est la distance entre O et M.
Oui, mais... Une distance, c'est quoi ?! Même si la boulangerie est à 500 mètres à vol d'oiseau de l'appart, il va falloir quand même se rallonger d'un demi kilomètre pour contourner le stade et aller s'acheter des croissants ! D'un côté, la distance à vol d'oiseau, de l'autre, la distance à pied. Si on peut différencier plusieurs type de distance dans la vie de tous les jours, on peut le faire dans le monde merveilleusement utopique des mathématiques !
La distance de Manhattan
Rendez-nous donc à Manhattan. Un Manhattan idéalisé, où tout le monde est écolo, et où toutes les rues sont perpendiculaires les unes aux autres.
Manhattan, idéalisé, et ses routes en pointillé traits courts interrompus
Imaginons que toutes les rues fassent exactement 500m, quelle est la distance entre le point A et le point B ? Le chemin à vol d'oiseau, en rouge, fait 5 km. Mais Manhattan, même idéalisé, est toujours rempli de buildings, et impossible de passer à travers. Il faut donc soigneusement les éviter : le chemin qu'il faudra emprunter est en zigzag, et le résultat final est une distance à pieds de 7 km entre A et B (Peu importe le chemin choisi, du moment qu'il ne fait pas de détours inutiles) ! La distance entre deux points peut donc ici être donnée par la formule |xA-xB|+|yA-yA|.
On peut se poser alors la question à l'envers : quels sont les points situés à une distance de 1,5 km du point O ? La réponse, ce sont les points en bleu, formant un carré. Un carré qui est le cercle (de Manhattan) de centre O et de rayon 1,5 km !
En gardant la même formule et transposée dans un plan, un cercle de Manhattan est donc un cercle carré !
Un cercle de Manhattan (de centre O, de rayon r)
Les cercles de Minkowski
Il existe donc plusieurs sortes de distance : la distance euclidienne, la distance de Manhattan... Pour généraliser, il faut donc définir ce qu'est une distance !
On est en droit d'attendre trois chose d'une distance : la symétrie (la distance de A à B est la même que celle de B à A), la séparation (deux points situé à distance nulle l'un de l'autre sont les mêmes) et l'inégalité triangulaire (passer par un troisième point rallonge). En traduisant mathématiquement ces propriétés, on peut vérifier que les deux distances déjà définies portent bien leur nom :
Distance euclidienne :
Distance de Manhattan :
Ce qui se généralise par la distance de Minkovski (même s'il n'est pas évident de vérifier qu'il s'agit d'une distance), appelée aussi p-distance :
La distance euclidienne n'est rien d'autre que la 2-distance, et la distance de Manhattan est la 1-distance.
Qui dit nouvelle distance dit nouveau cercle, qui peuvent, suivant les valeurs de p, ressembler à :
A gauche, le cercle pour la 3-distance
A droite, le cercle pour la 0.5-distance
La distance de Chebychev
Mais on peut aller voir ailleurs, et tenter d'autres formules de distance. La plus utilisée est la distance de Tchébicheff, aussi appelée ∞-distance. Elle est donnée par la formule :
Et cette formule nous donne encore un nouveau cercle, lui aussi carré :
Cercle de Чебышёв
Dans tous les cas vu, j'ai parlé de distance entre deux points d'un plan, mais cela fonctionne toujours dans l'espace, dans l'espace-temps (à 4 dimensions) ou dans un espace à 42 dimensions, au détail près que les cercles s'appelleront alors sphère (S2) , hypersphère (S3) ou 41-sphère (S41).
La distance entre sommet d'un graphe
On peut même parler de distance en dehors de la géométrie, dans la théorie des graphes par exemple. Un graphe, c'est un ensemble de points (des sommets) reliés entre eux (par des arrêtes). On peut aller d'un point à un autre en se déplaçant sur les arrêtes. La distance entre deux points d'un graphe, c'est alors le nombre minimal d'arêtes à franchir pour aller d'un point A à un point B.
Si on peut parler de distance, on peut parler de cercle, qui peuvent ressembler à :
Cercle de centre O et de rayon 2, sur le graphe en bleu
(Le cercle, c'est l'ensemble des points noir, le polygone noir n'est ici que pour faire joli)
La distance hyperbolique
Allez, un petit dernier pour finir : le cercle du monde hyperbolique. (Bien que je n'ai pas assez d'un seul paragraphe pour résumer ce qu'est exactement le monde hyperbolique) :
Cercle hyperbolique de centre O et de rayon r (vu dans le demi-plan de Poincaré)
Tags : Géométrie, Sphères, Topologie
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Commentaires
Très intéressant ! Je voudrais juste préciser que ce n'est pas Grüm qui a inventé la roue, mais son cousin.
Super article !
hors sujet !
Bonjour à vous,
Sauriez vous trouver une élégante manière de résoudre l'étape suivante :
1. Trouver tous les patterns différents [biensûr on considère (3, 7) = (7,3) et (77,10,10, 3)= (10,3,77,10) etc...] Calculer le nombre de Patterns possibles: Nbpatterns
Sur le modèle de labyrinthales ou carrés magiques (http://www.scalpa.info/new_logiciels.php ) :
Tableaux de nombres :
J'ai bien envie d'automatiser (nouveau défi de programmation....) la création de fiches. Cependant, mathématiquement parlant, je me demande s'il existe une "équation" qui me permettrait de trouver tous les pairs ou quadruplets d'un nombre?
Dans un tableau de nombres, faire rechercher les paires (verticale (nombres côte à côte) dont la somme donne 10 (par exemple).
ou une variante qui consiste à retrouver les carrés dont les nombres (quadruplets?) donnent 100 (par exemple).
Objectifs : amener les enfants à faire de nombreux calculs pour débusquer (colorier) les pairs ou carrés en question.
Les variables utilisateur à intégrer sont :
la taille de la grille : LgGrille et HtGrille as integer
le nombre cible : NbCible as integer (or decimal?)
Le type de travail ( pairs/quadruplets) JobType
La quantité de pairs/quadruplets cachés dans la grille : QteJob
La superposition possible ou interdite de solutions (as boolean?)
Le tableau des pairs ou quadruplets possibles calculés et stockés as array? ArrayPatterns
Déroulement possible:
1. Trouver tous les patterns différents [biensûr on considère (3, 7) = (7,3) / (77,10,10, 3)= (10,3,77,10) etc...] Calculer le nombre de Patterns possibles: Nbpatterns
2. Afficher ce nombre dans l'interface utilisateur pour pouvoir choisir QteJob de façon intelligente (Si QteJob > Nbpatterns, alors il faudra utiliser plusieurs fois le même ArrayPatterns.item)
3. Placer aléatoirement les QteJob ArrayPatterns.items dans la grille en respectant la non-superposition, si celle-ci est interdite
4. Finir de remplir la grille avec des nombres en faisant attention de ne pas recréer accidentellement de nouveaux ArrayPatterns.item
D'autres distances
On aurait pu mentionner aussi lea distance du chemin de fer français : dans le plan, on fixe un point de référence P. Notons Eucl(A,B) la distance euclidienne habituelle entre deux points A et B. On pose alors
d(A,B) = Eucl(A,B) si A,B et P sont alignés, et
d(A,B) = Eucl(A,P) + Eucl(P,B) sinon.
Et il y a les distances ultramétriques, pour lesquelles tout point situé à l'intérieur d'une boule en est un centre...
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