De combien de façons différentes peut-on écrire un nombre sous la forme d'une somme ? Prenons par exemple le nombre 4, on a les partitions suivantes :

4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1

On a alors 5 partitions différentes de l'entier 4. On écrit p(n) le nombre de partitions de l'entier n. Les premières valeurs sont les suivantes :

Pfff
p(1)=1, p(2)=2, p(3)=3 p(4)=5, p(5)=7, p(6)=11

On a ensuite p(7)=15, p(8)=22, p(9)=30, p(10)=42 etc.

On se retrouve donc avec une liste de nombres, les nombres-partitions : 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22...

 

Face à une telle suite de nombres, le mathématicien se pose systématiquement les mêmes questions :
- Quelle est sa série génératrice ? (la série génératrice d'une suite étant un est la fonction f(x)=u0+u1.x+u2.x2+u3.x3... ) Les fonctions génératrices sont merveilleuses pour les informaticiens désireux de faire des calculs toujours plus grand, et permettent de conjecturer et/ou démontrer des propriétés sur la suites.
- Où sont les nombres premiers ? On sait jamais, des fois que ça aide à casser l'hypothèse de Riemann ou à trouver de grands nombres premiers !...
- Où sont les nombres pairs ? et les impairs ? Le genre de questions réflexes qui ne peuvent qu'aboutir à des théorèmes qui vont aider ceux qui s'intéressent à la deuxième question.

...

Pour la première question, c'est Euler qui s'en est chargé, en démontrant la jolie formule suivante :

formule_partit

...

Pour la deuxième question, il se trouve que la suite possède son lot de nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 101, 17977, 10619863, 6620830889, 80630964769...

Le plus grand que l'on connaisse, c'est p(15118525), qui compte 4324 décimales (ce qui est peu par rapport aux 13 millions du plus grand connu). Y en a-t-il une infinité ? Impossible aujourd'hui de le savoir, mais la recherche avance.

...

Pour la troisième question, on en sait déjà un peu plus, depuis 1959 : Kolberg a démontré qu'il y a une infinité de nombres-partitions pairs et de nombres-partitions impairs. A vrai dire, on s'en doutait déjà pas mal !

Mais le plus important, c'est le théorème suivant :
Il existe C>0 tels que le nombre de p(n) pairs pour n<N est plus grand que ln(N)C. En écrivant ça plus mathématiquement :

formule_NS

Cette propriété est également vraie en remplaçant "pair" par "impair", et ce théorème est appelé "Théorème de Nicolas-Sárközy". Ce nom vient tout simplement du mathématicien français Jean-Louis Nicolas et du mathématicien hongrois András Sárközy qui ont conjointement signé la démonstration en 1995 !

Reste une question à résoudre : a-t-on environ autant de nombres-partitions pairs que d'impairs ? Les tests sont concluants (sur les 2000 premiers, 1012 sont impairs) cependant, la conjecture de Nicolas-Sárközy est ouverte !

canard
Brève du canard enchainé (quelqu'un a la date ?)

(Pour dire la vérité, cette conjecture porte plutôt le nom de "conjecture de Parkin et Shanks". Le nom "conjecture de Nicolas-Sarkozy" est l'œuvre du mathématicien Tunisien Ben Saïd, qui, faisant suite aux travaux du trio Nicolas-Sarkzy-Ruzsa, a intitulé son article On a Conjecture of Nicolas–Sárközy about Partitions)