Dans mon article d'aujourd'hui, j'aimerai répondre à une question posée par Mme B., de Pornic :

"Tous les combien de temps reviennent les calendrier ?"

calendar

Pour trouver la réponse, il n'y a pas le choix : arithmétique modulaire, au secours !
Sous ce nom barbare se cache en fait une pratique de tous les jours.

Il est 13h. Quelle heure sera-t-il dans 17 heures ? Les ingénus répondront qu'il sera 30h, les plus malins diront 6h, et ils auront raison (puisque 30=24+6). Quand on parle d'heure, on pose implicitement que 24=0, on compte alors "...,22,23,0,1,2,..." et cela ne gêne plus de dire que 23h+2h donne 1h du mat' (et non 25h).
On dit que l'on fait des calculs modulo 24, on écrit 23+2=1 [24] et on lit "23+2 est congru à 1 modulo 24".

Concrètement, pour calculer quelque chose comme "32 modulo 5", il faut poser la division euclidienne de 32 par 5. On se fiche du quotient, on ne garde que le reste. On trouve alors 32=2[5]. Google fait aussi très bien le travail si vous tapez "32%5". Faire du calcul modulaire, c'est simplement ne s'occuper que du "reste de la division euclidienne".

32mod5
La bonne vielle division euclidienne de notre enfance

La roue des calendriers
Sachant qu'un 1er janvier, ça peut tomber un samedi, un dimanche [...] ou un vendredi, et qu'une année peut être ou non bissextile, il n'existe finalement que 14 calendrier différents. Mais combien de temps peut-on garder un calendrier périmé avant qu'il ne redevienne d'actualité ? (Crise oblige, il faut savoir économiser...) Pour le savoir, plaçons nous dans le monde merveilleux des calculs modulo 4,7 et 28!

Puisqu'il est plus facile de compter avec des nombres qu'avec des jours, on va compter les jours de la façon suivante : samedi=0, dimanche=1, ..., vendredi=6.
Le jour qui suit vendredi est samedi, il nous faut donc 7=0, d'où les calculs modulo 7. Ainsi, on a bien 6+1=0 [7]. En supposant que nous sommes jeudi (5), quel jour sera-t-il dans 8 jours ? Puisque 5+8=13, il faut calculer 13 modulo 7, ce qui donne 13=6[7]. Dans 8 jours, nous seront donc vendredi.

Le 1er janvier 2000 était un samedi (0), et l'année a duré 366 jours (2000 étant bissextile). Pour savoir quel jour est tombé le 1er janvier 2001, il faut donc calculer 0+366 modulo 7, ce qui donne 2 : c'était un lundi.
Le 1er janvier 2002, quant à lui, est tombé un mardi, puisque 2+365=3[7].

En fait, on peut se limiter à remarquer que 365=1[7] et 366=2[7] pour faire les calculs qui nous intéresse. On décale de 1 jour le calendrier lorsque l'on sort d'une année non bissextile, et de 2 jours sinon.

On sait que les années bissextiles reviennent tous les 4 ans (Ce sont même les années divisibles par 4 (*)), il y a juste à retrouver quelle sera la prochaine année bissextile à commencer par un samedi pour connaître la période des calendriers. La réponse : 28 ans ! On peut résumer le propos par cette jolie roue des calendriers :

roue
La roue des calendrier 1901-2099
Les lettres indiquent le jour de la semaine où tombe le 1er janvier de l'année, les cases numérotées indiquent les années bissextiles.

Ainsi, on peut voir sur la roue que 2000 est une année de type S-B (comme Samedi-Bissextile), ou que 2009 est une année de type J-NB. On remarque une deuxième chose : ne jetons pas le calendrier de 2009, il va resservir en 2015 ! (Forcément, on a 14 calendriers différents à utiliser sur une période de 28 ans, certains vont servir plusieurs fois - les bissextiles servent tous une fois, les monosextiles servent tous 3 fois)

Et 1987, c'était quel type de calendrier ? Puisque les calendriers sont périodiques et de période 28 ans, le calendrier de 1987 est de même type que celui de 1987+28=2015 ! Pour savoir quel jour je suis né, j'ai juste à regarder sur le calendrier de cette année !

Et pour 1911 ? C'est de même type que 1939, mais ça ne nous avance pas vraiment... C'est maintenant que les petits nombres écrits dans les cases bissextiles interviennent. Puisqu'un même calendrier revient tous les 28 ans, on peut utiliser les calculs modulo 28. Ainsi, si une année est congrue à 12 modulo 28, elle aura le même calendrier que 2000. Pour 1911, on calcule que 1911=7[28] : c'était un calendrier de type D-NB !

Calendrier julien Vs calendrier grégorien
(*) Malheureusement, ma jolie roue des calendriers sera périmée en 2099, puisque l'année 2100 sera, contre toute attente, non bissextile (la faute au calendrier grégorien) !
En effet, une année est bissextile si elle est divisible par 4
Exception : les années divisibles par 100
Exception à l'exception : les années divisibles par 400
Ainsi, l'année 1900 n'était pas bissextile, bien que, selon Wikipédia, la ville de Ladysmith aurait été libérée le 29 février 1900...

L'année 2100 ne sera donc pas une année de type V-B (2100=0[28]), mais de type V-NB. 2101 sera donc de type D-NB, ce qui décale complètement la roue !

A cause de ce décalage, il faudrait plutôt dire que les calendriers reviennent tous les 28 ans - en général- ! En vérité, ils reviennent plutôt tous les 400 ans ! (On pourra faire la fête le 1er janvier 2400, le lendemain sera dimanche !)

Mais au fait, pourquoi faire des années bissextiles ? Le problème, c'est la Terre, qui fait un tour sur elle-même en précisément 1 jour, mais qui fait le tour du Soleil en 365,24219 jours. Sans les années bissextiles, toutes les années feraient 365 jours, et on risquerait un premier janvier en été. En ajoutant un jour tous les 4 ans, (calendrier julien) l'année une année durera en moyenne 365,25 jours, ce qui est bien mieux ! En supprimant 3 jours par périodes de 400 ans (calendrier grégorien), on arrive à une moyenne de 365,2425 jours par années ! Il y a toujours un décalage, mais on a pas vraiment raison de s'en inquiéter avant 3000 ans !

La réforme du sarkodi
Faut-il travailler le dimanche ? Après de long débats houleux à l'assemblée nationale, les députés ont décidé à la majorité absolue que le travail le dimanche restera dans le domaine de l'exceptionnel. En contrepartie, et pour relancer l'économie du pays, il a également été voté à la majorité absolue (les députés de l'opposition étant mystérieusement retenus à un congrès au Népal) que la semaine ne durerait plus 7 mais 8 jours. A partir du premier janvier 2010 sera intercalé entre le dimanche et le lundi le Sarkodi (le 28 janvier 2010 sera un Sarkodi, parfait pour l'anniversaire de notre président bien aimé).

7 était un nombre premier, mais 8 est loin de l'être... Mais est-ce que cela va changer quelque chose ? Oui, cela va tout changer, puisque les calendriers n'auront plus une période de 28 (4×7) ans, mais de 32 (4×8) ans ! Cela va donner plus de calendriers différents, qui vont servir moins souvent.... Ce n'est pas comme ça que l'on va gérer la crise !

Mais combien de jours dans la semaine faut-il pour minimiser le nombre de calendriers différents ? Pour cela, il faut s'intéresser non pas au nombre de jours dans une année, mais au nombre de jours dans 4 années. Ce nombre, c'est 1461, que l'on peut écrire 3×487.

Imaginons maintenant un monde ou la semaine fait 6 jours (On supprime le lundi, personne n'aime le lundi). On est en droit de s'imaginer que les calendriers auront une période de 24 ans (4×6)... Pas du tout ! Avec 6 jours par semaine, toutes les années bissextiles commenceront par un samedi ou un mardi, et la période des calendrier sera de 8 ans !

Ce phénomène vient du fait que 6 n'est pas premier avec 1461 (la fraction 1461/6 n'est pas irréductible). Puisque le premier janvier 2000 est un samedi, quel jour sera-t-il 8 ans plus tard ? Samedi aussi ! Pour s'en convaincre, il faut faire les calculs : 8 ans, c'est 2922 jours, soit 2×3×487 jours. Une semaine, c'est 2×3 jours. La division de 2922 par 6 tombe juste, il n'y a pas de reste, ce qui signifie que 8 ans représente un nombre entier de semaines, et on retombe sur le même jour le 1er janvier 2008.

Bref, si la semaine dure 7 jours, ce n'est pas du tout un hasard : il fallait pouvoir utiliser tous les types de calendrier. Mais ce choix a été fait lors d'une période fastueuse de l'humanité, qui est aujourd'hui en récession : luttons contre la crise, et demandons la suppression pure et définitive du lundi, pour obtenir enfin la semaine de 6 jours !