L'histoire se déroule de l'autre côté de l'Univers, dans la constellation de la coccinelle. Les tous petits habitants de la planète U vivent une presque utopie, grâce au rutilant Super U, garant de leur protection contre les attaques de mammouths mutants.
Ce jour là, un nouveau magasin de bricolage vient d'ouvrir à côté du casino. Ce magasin est parfaitement cubique, et ses dimensions sont historiques : 1 mètre sur 1 mètre sur 1 mètre ! Impossible de faire plus grand, la législation Ullienne interdit la construction de bâtiment ayant un volume supérieur à 1 unité.
Le Cube, le plus grand magasin de l'unique continent Ullien
Cet énorme magasin dispose d'un stock de planches de toutes tailles : de simple planches de quelques centimètres jusqu'aux plus grandes, longues de 1m. Mais ce nouveau magasin aime faire les choses en grand, et ne s'arrête pas à ces planchettes ! En plaçant les planche en diagonal, il est tout à fait concevable d'entreposer des planches longues de 1,7 m (≈√3) !
Mais le tout petit gérant en voulait toujours plus, et s'était mis un point d'honneur à faire entrer dans son magasin des planches plus longues. L'idéal serait de pouvoir caser des planches de 2 m, mais comment faire sans les casser ni enfreindre la loi ?...
Hyperplanches...
Rappelons tout de même la loi Ullienne limitant la taille des bâtiments : les constructions ayant un volume de plus de 1 unité sont interdite. Ici, le mot volume est pris au sens large, et "unité" représente les m, m² ou m³ : les murs de plus de 1 m sont prohibés ("volume"=longueur), tous comme les sols de 1m² ("volume"=aire) ou les bâtiments de 1m³.
La solution a été trouvé par un tout petit ingénieur : au lieu d'augmenter la taille du cube, il suffit simplement d'ajouter une dimension ! On transforme alors le cube (de dimension 3) en tesseract (alias 4-cube ou hypercube 4-dimensionnel), ce qui est tout à fait concevable sur la planète U.
Pour se représenter les cubes des dimensions supérieures, il suffit de regarder les dimensions inférieures : le cube de dimension 1 est le segment unité. Pour passer à la dimension supérieure, il suffit de déplacer notre segment d'une unité dans une autre direction : il balayera un carré (dimension 2). Pour obtenir un cube, il suffit de déplacer notre carré dans une troisième direction. Le passage à la 4ème dimension de fait de manière identique.
Construction des 4 premiers hypercubes
En augmentant la dimension du cube, on augmente son diamètre (ici, le "diamètre" est la plus grande distance entre deux points). Le diamètre d'un carré unité est de √2, celui du cube unité est de √3. Plus généralement, le diamètre d'un hypercube unité de dimension n est de √n. Ainsi, avec n=4, le diamètre du tesseract est de 2, ce qui permet à la planche de 2 mètres de rentrer ! Plus on augmente les dimensions, plus le diamètre devient grand : en allant jusqu'à 100 dimensions, il sera même possible de faire entrer une planche de 10 mètres dans l'hyper cube de côté 1m !
Mais la loi est-elle détournée ? Et bien non ! Le volume du tesseract unité (1m×1m×1m×1m) est ici de 1 m4, ce qui est autorisé par la loi. Ici, on parle d'un hyper volume, qui se calcule en m4 généralisant les formules du rectangle (dim 2) du pavé (dim 3).
De manière plus générale, l'hypercube de dimension n et de côté c a pour volume cn.
L'hypersphère
Face à ce succès, le tout petit gérant a commencé à voir les choses en grand. Après le Cube, n°1 du bricolage, il allait construire quelque chose d'encore plus grand de l'autre côté du carrefour ! Son idée, c'est une grande surface mélangeant commerce de proximité et rendez-vous shopping, et surtout, d'apparence sphérique. Une sphère géante, de 1 m de rayon !
Formules des volumes du segment, disque et boule de rayon R.
Mais notre tout petit gérant avait oublié un détail : une sphère de rayon 1 a pour volume 4π/3, soit 4,19 m³. Le détournement de la loi risque de se voir ! La seule solution, ça serait de réduire le rayon de la sphère à 62 centimètres... Pour notre tout petit gérant, c'est non ! Hors de question de diminuer de 38% le rayon de la sphère ! Fort de son premier succès, le tout petit ingénieur lui donna le même conseil : augmenter les dimensions !
Dans les dimensions supérieures, la sphère (ensemble des points situés à une distance donné d'un point donné) deviennent des hypersphères. On peut s'imaginer une hypersphère de dimension 4 comme étant un livre où sur chaque page serait dessiné une sphère de dimension 3. Plus on se rapproche du centre du livre, plus la sphère dessinée est grande. En tournant les pages du livre, on se déplace le long de la 4ème dimension.
En effectuant dans le bon ordre les bons calculs (voir là-bas, par exemple), on peut trouver la formule donnant la valeur du volume de l'hypersphère de rayon R et de dimension n. Cette formule est la suivante :
Le Γ, c'est la fonction Gamma d'Euler. On peut donner des formules "plus simples" en fonction de la parité de n :
Les premières valeurs sont alors :
A la vue des premières valeurs, le volume de la sphère semble augmenter avec le nombre de dimension, mais en y regardant de plus près, il atteint son maximum en dimension 5, et décroît jusqu'à zéro pour les valeurs plus grandes (pour les hypersphères de rayon 1).
Volume de l'hypersphère de dimension n en fonction de n
La solution, elle existe : ériger une hypersphère à treizième dimension ! Dans cette dimension, la sphère de rayon 1 aura un volume de 0.91 m13, ce qui est autorisé par la loi !
Par contre, il sera hors de question d'inscrire cette hypersphère dans un hypercube ! En effet, l'hypersphère de rayon 1 s'inscrit toujours dans un hypercube de côté 2, et lui sera tangent, peu importe leur dimension (on imagine bien un carré circonscrit à un cercle, ou un cube circonscrit à une sphère). Cependant, en dimension 13, le volume de l'hypersphère sera tout juste inférieur à 1 m13, mais celui de l'hypercube sera de 8 192 m13 ! Même en restant tangent à l'hypercube, l'hypersphère aura toujours un bien plus petit volume, et c'est d'autant plus vrai que la dimension est grande ! Cela reste vrai peu importe le rayon de l'hypersphère : voilà pourquoi, sur la planète U, les tous petits habitants sont plutôt cubiques, pour ne pas maigrir lorsqu'ils changent de dimension !
Depuis ce jour, les Ulliens ont su comment transformer une presque utopie en une parfaite utopie ! Des villes aux champs, tout le monde était d'accord avec notre tout petit gérant : tous les problèmes de la vie quotidienne se résolvent lorsque l'on passe aux dimensions supérieures !
Saurez-vous retrouver les noms des 20 grandes surfaces actuelles ou disparues disséminées dans ce texte ?
(Cela dit, les dimensions non entières peuvent être utilisées pour les fractales, mais n'ont pas vraiment d'utilité dans ce propos)
Ce n'est pas un peu étrange ? Quand on imagine un livre, les pages sont de dimension deux, comment y dessinnez vous des sphéres de dimension trois?
Ou alors un livre avec des pages de dimension trois, mais là je suis perdu sur la manière de tourner les pages.
Maintenant, moi je m'imagine une sphère qui grandit et rappetisse. Je ne sais pas si ce serait plus clair pour un béotien.
J'avais tenté de faire un billet sur la propriété mathématique en grande dimension qui m'avait le plus bluffé, qui ressemble beaucoup à ce que vous racontez, et surtout de transmettre mon intuition: http://www.arthurrainbow.fr/blog/?post/2008/08/26/3-propriete-simple-en-grande-dimension
Une dernière question, votre courbe est continue.
Je sais qu'on peut parler de dimension non entière pour des fractales, même si je n'ai pas la moindre idée de ce que ça signifie.
Est-ce qu'ici ça a du sens ? Ou est-ce que le milieu a juste été interpollé à partir des points déjà connu?