Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes

Penser hors du cadre

Le puzzle des 9 points

Neuf points étant disposés en carrés, comment faire pour les relier par 4 segments sans lever le crayon ?
Si vous ne connaissiez pas le problème avant de venir ici, cherchez au moins deux minutes (et sachez que mine de rien, vous manquez un peu de culture, avec tout le respect que je vous dois ;-) )

Illustration du problème des 9 points dans Cyclopedia of 5000 Puzzles.

Ce problème est apparu pour la première fois sous le nom de "puzzle de l'œuf de Christophe Colomb" en 1914 dans Cyclopedia of 5000 Puzzles de Sam Loyd (un grand créateur de problèmes d'échecs). Ce problème est également attribué à Henry Dudeney, à qui l'on doit notamment le problème des trois maisons (trois maisons, trois usines, comment relier les maisons aux usines, toussa).
Mais si ce problème est si populaire, c'est pour son utilisation par les consultants en management (notamment de chez Walt Disney) dans les années 70, qui proposaient à leur client de résoudre le casse-tête (et leur rire au nez d'un air hautain en leur exhibant la réponse en disant "c'était facile").

La difficulté de ce problème vient des barrières que l'on s'impose, en imaginant les segments seulement entre les points dessinés. Pour résoudre le casse-tête, il faut simplement penser différemment, et sortir du cadre ("Thinking outside the box").

Pour ceux qui bloquent toujours, passons sans suspens à la solution :

Et on s'arrête à cette solution, heureux que l'on est d'avoir pensé hors du cadre ! ...

Mais cette solution reste tout de même conventionnelle et, quitte à penser hors du cadre, autant le faire vraiment. L'énoncé amène une contrainte inutile de 4 segments, alors que l'on peut facilement faire 3, voire un seul !

La solution alternative
D'un point de vue mathématique, un point n'a pas de dimension, mais, sur le dessin, les points sont de petits cercles... Détail important, puisque l'on peut utiliser l'épaisseur de ces traits pour résoudre le casse-tête en seulement 3 segments :

La solution du géomètre
Le problème est un énoncé de géométrie euclidienne : on suppose implicitement que l'on travaille sur un papier plat... Rien n'interdit de supposer que la question est posée sur une autre surface, comme une sphère ou un cylindre. La solution précédente s'adapte alors, et donne une solution en un seul trait :

La solution probabiliste
Autre solution faisant intervenir l'épaisseur des points : la solution probabiliste !

La solution expéditive
On a parlé de l'épaisseur des points, mais quid de l'épaisseur du crayon ? Allez, hop, en un seul trait !

La solution origamiste
Ma préférée : penser en trois dimensions ! Par un pliage savamment étudié, on peut aligner les 9 points, avant de tracer le coup de crayon final !

On pourrait aussi imaginer des solutions faisant intervenir la découpe du papier, ou une solution probabiliste  un peu plus réfléchie, où l'on aurait soigneusement plié le papier en 9 épaisseurs... Vous en voyez d'autre ?