Pour avoir une bonne culture générale, il est nécessaire de bien connaître la chronologie des rois de France, les plus grands peintres de la Renaissance (ou les tortues ninja, au choix) ou avoir lu les meilleurs tome des Rougon-Macquart. Avec ça dans la tête, vous n'aurez aucune difficulté à gagner chez Julien Lepers. Malheureusement, cela ne suffit pas pour ne pas se faire piéger par votre filleul à qui l'on vient d'offrir un bouquins d'énigmes...

 

Quelle est l'étendue de votre culture en amusette mathématique ? Voici ma petite sélection des 10 énigmes plus ou moins mathématiques qu'il est inadmissible de ne pas connaître ! Notez 1 point si vous ne la voyez pas pour la première fois, et 2 points si, en plus, vous vous rappelez de la solution !

A noter que le choix est purement subjectif. J'en ai surement oublié des ultra classiques, et que certaines ne méritent pas leur place dans le top 10 des énigmes sur-entendues  !

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La suite de Conway 1
Complétez cette suite logique : 1, 11, 21, 1211, 111221, ...

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Les cocus de Bagdad 2
L'heure est grave : le calife de Bagdad a décidé de réunir ses concitoyens : "Il y a trop de femmes infidèles dans cette ville ! Si vous veniez à apprendre que votre femme est infidèle, je vous demande de la tuer le soir même, à minuit". Il ajoute ensuite "Il y a au moins une femme adultère dans cette ville !". Chaque homme de la ville sait qui sont les femmes infidèles, sauf évidemment s'il s'agit de la leur.

Le soir même, rien ne se passe...
Le lendemain soir, non plus...
...
Le 49e soir, par contre, tous les femmes infidèles sont assassinées.

Sachant que les habitants de Bagdad appliquent au mot le paroles de leur calife et qu'ils sont de parfaits logiciens, combien y avait-il de femmes infidèles à Bagdad ?

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Le menteur et le sage 3
C'est le jour du jugement dernier, et Saint-Pierre en a assez de décider pour vous. Vous avez alors le choix entre deux portes : l'une donne sur l'Enfer, l'autre sur le paradis. Devant ces portes, deux anges : le premier, infiniment sage, ne dit que la vérité ; le second, infiniment fourbe, ne prononcera jamais une seule vérité. Avant de faire votre choix dans la porte, vous pouvez poser une question à l'un des deux anges. Quelle question faut-il poser ?

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La mouche et les trains 4
Deux villes, disons A et B, sont séparées par un chemin de fer long de 1000 km (chemin de fer à une seule voie). A un moment donné, un train part de A vers B, à une vitesse de 100km/h. Au même moment, un autre train part de B vers A, à la même vitesse.
Toujours au même moment, une mouche part à 150 km/h du premier train, et commence un aller-retour interrompu entre les deux trains.
Au moment où les deux trains vont rentrer en collision, quelle distance la mouche aura-t-elle parcouru ?

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Le bouchon et la bouteille 5
Une bouteille et son bouchon coûtent 11€. Sachant que la bouteille coûte 10€ de plus que le bouchon, combien coûte la bouteille ?

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Le triangle de Curry 6

Curry

Voici deux triangles isocèles de base 10 et de hauteur 12, réalisés avec les même pièces, au détail près qu'une 7ème pièce est nécessaire dans le deuxième assemblage... D'où vient cette pièce en trop ?

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Le nénuphar glouton 7
Un nénuphar vit paisible dans sa mare, et double de taille tous les jours. Au 50e jour de son existence, il a déjà recouvert la moitié de sa mare, combien de temps va-t-il mettre pour recouvrir la totalité de la mare ?

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Coupe le cake ! 8
Comment découper un cake en 8 parts avec seulement 3 coups de couteaux ?

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Le trentième euro 9
Trois amis décident de passer une nuit à l'hôtel, dans une chambre coutant 30 € la nuit. Par une habile division, chacun paye 10 € à la réceptionniste. Les trouvant très sympathiques, elle décide de leur offrir une remise de 5€. En bons princes, les amis laissent 2€ de pourboire à la réceptionniste, et récupèrent 1€ chacun.
Chacun a donc payé 9€, soit (3x9) 27€, et la réceptionniste a récupéré 2€.
Puisque 27+2=29, où est passé le 30e euro ?

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Où est le père ? 10
Une mère a 21 ans de plus que son fils. Dans 6 ans, le fils sera 5 fois plus jeune que sa mère.
Où est le père ?



1 C'est la suite de Conway ! La solution attendue est donc 312211, et la justification est derrière le lien.
La solution 444801 était évidemment aussi acceptée, puisqu'il s'agit de la suite des valeurs prise par le polynôme P(z) = 55595/3 z3-55595 z2 + 111220/3 z + 1... Avec beaucoup de mauvaise foi, on peut justifier n'importe quelle solution à des questions du genre "complétez la suite logique"

2 Ah, le raisonnement par récurrence ! S'il n'y avait qu'un seul cocu, il aurait tué sa femme le soir même, ne voyant aucune autre femme adultère. Supposons que seulement deux hommes soient cocus (il n'y a donc pas eu de meurtre le premier soir) : chacun ne connait qu'une seule femme infidèle. Si cette femme était la seule, elle aurait été tué le premier soir : ce n'est pas le cas, ce n'est donc pas la seule, et les deux cocus assassinent leur femme le 2eme soir. De manière générale, si les règlements de comptes ont lieu le n ième soir, c'est qu'il y a n femmes infidèles. Il y avait donc 49 femmes infidèles à Bagdad.

3 "Si je demande à ton pote quelle est la porte de l'Enfer, que va-t-il me répondre ?", et de prendre ensuite l'autre porte. Il existe aussi la variante avec 3 portes...

4 Deux raisonnements permettent de trouver la solution. La première est celle utilisée par John Von Neumann (mathématicien qui a beaucoup apporté à la logique mathématique, et à tout un tas d'autre chose). Sa méthode consiste à calculer la distance parcourue par la mouche pour aller du train 1 au train 2, puis pour le retour, puis pour le re-retour, et ainsi de suite. Au final, le nombre d'aller retour sera infinie, ce qui se traduira par une somme infinie... En appelant v1 la vitesse du premier train, v2 la vitesse du deuxième, vm la vitesse de la mouche et d la distance séparant les deux villes, la distance parcourue par la mouche ressemble à peu près à :

distance_mouche

Ce qui vaut exactement, en remplaçant par les valeurs de l'énoncé, 750 km.

La seconde solution consiste à voir que les trains vont se rencontrer après 5 heures de trajets, le temps pour la mouche de faire 750 km, avec autant d'aller-retour que nécessaire...

5 10€ ? Bien sûr que non ! 10.5€, évidemment (et le bouchon coûte 0.50€)...

6 J'avoue, j'ai menti : ce ne sont pas des triangles, et ils sont encore moins identiques ! Sur le dessin, les points A, B et C ne sont pas alignés, pas plus que les points D, E et F. La pièce noire vient des deux quadrilatères que l'on peut faire avec les points A,B,C et E (et leur symétriques), chacun d'aire 1.

Curry_sol

Cette énigme a été crée par un neuropsychiatre américain, L. Vosburgh Lions, pour illustrer un phénomène découvert par Paul Curry.

 

7 Mais non, pas 100 jours, mais 51 ! On a dit qu'il doublait tous les jours !
A noter tout de même que s'il s'agit d'une mare de taille moyenne (disons, 1000 m²), le nénuphar n'aura besoin que de 39 jours supplémentaires pour recouvrir la totalité de la planète Terre... Les puissances 2, ça grimpe vite !

8 Une belle énigme à la "penser hors du cadre" !
La solution basique consiste à couper dans le cake en 4 avec deux coups de couteaux, et de faire le dernier dans le sens de l'épaisseur du gâteau !
On peut également d'arranger pour toujours couper dans le sens de la hauteur en empilant les nouvelles parts découpées en un seul tas.
Mais on peut évidemment le faire un seul coup de couteau, en pliant le cake sur lui-même !

9 Comme quoi, mal écrire le raisonnement aboutit à des absurdités ! Les 2 € du pourboire font parti des 27€ payés, les 3 restants étant ceux qui ont été rendus.
A la fin des échanges, le patron de l'hôtel a 25€, la réceptionniste 2 € et chacun des amis en a 1€. 25+2+1+1+1=30, le compte est bon !

10 Énigme sans intérêt, où la solution passe simplement par la résolution d'un système linéaire. En posant x l'âge du fils et y l'âge de la mère, on a les équations x=+1=y et (x+6)=(y+6)/5. La résolution donne x=-3/4, soit -9 mois...
Le père est dans la mère. Cette énigme était juste la preuve que l'on peut allier équations linéaires et humour graveleux !


Vous pouvez retrouver ces énigmes dans n'importe quel bon livre d'énigmes ! (Et normalement, il devrait aussi y en avoir des pas connues, mais biens quand même)