Alors que les esquimaux ont une douzaine de mots différents pour exprimer la neige, les mathématiciens possèdent eux aussi tout une gamme de mots différents pour parler d'assertions mathématiques : théorème, corollaire, lemme, postulat...
Plus difficile que le dialecte inuit, apprenons donc aujourd'hui le mathématicien moderne !

Dans la famille des énoncés démontrés :

Le théorème (Du grec ancien θεώρημα (theorema), "spectacle, fête, contemplation") :
Le roi des assertions mathématiques, le Graal des chercheurs !
A la base, le théorème est un simple énoncé mathématique qui a été démontré, et donc, vrai. iI se présente généralement sous la forme "Si ... alors... ", voire "... si et seulement si ...", et est souvent accompagné de sa démonstration, ou "preuve".
Mais tout énoncé démontré ne peut pas avoir le mérite d'avoir le titre de "théorème"  ! Un théorème, c'est  avant tout une vérité profonde de la nature des mathématiques, le point d'orgue de tout une théorie ! Le plus célèbre d'entre eux réalise par exemple un pont entre une propriété sur des nombres (la somme de deux carrés est égale à un carré) et à une propriété géométrique (le triangle est rectangle)... Sa démonstration porte en elle le temps et l'énergie de ceux qui s'y sont aventurés, et porte le plus souvent le nom du mathématicien qui l'a prouvée (ou pas)...

La proposition
(du grec ? du latin ? )
Tout comme le théorème, une proposition est un énoncé mathématique vrai et démontré en bonne et due forme. C'est un résultat intéressant, toujours, mais à un degré en dessous du théorème. Contrairement au lemme ou au corollaire, la proposition n'a pas besoin de grand chose pour exister, mis à part le cadre de sa théorie.
Les propositions ne sont jamais célèbres : si elles l'étaient, elles mériteraient d'être des théorèmes !

La propriété (Du latin proprietas "chose possédée")
Encore en dessous de la proposition : la propriété. C'est un petit résultant intéressant, mais qui découle généralement immédiatement d'une définition. Par exemple, 42 possède tout un tas de propriétés : c'est un nombre sphénique, un nombre de Catalan, un nombre Harshad, un nombre pratique...
On a tendance à oublier de les démontrer, ce qui est loin de faire honneur à la rigueur des mathématiques (même s'ils égayent les livres de mathématiques des collégiens) ...

Le corollaire (Du latin corollarium, "petite couronne ")
Après avoir sué sang et eau pour venir à bout de la démonstration d'un théorème, le mathématicien doit se reposer. C'est là que le corollaire intervient : un résultat immédiat (ou très rapide) que l'on obtient en utilisant le théorème. Il peut se présenter sous la forme d'un cas particulier. Pour mériter son AOC, un corollaire ne doit pas avoir une démonstration de plus de trois lignes !
L'appellation "Corollaire immédiat" concerne les corollaires tellement immédiats qu'en faire une démonstration reviendrait à insulter le lecteur.
Dans les vieux ouvrages, on préfère le terme "scolie".
De manière encore plus générale, tout grand théorème n'est que le cas particulier d'un théorème encore plus fort : on est tous le corollaire de quelqu'un ! Le théorème de Pythagore, pour ne citer que lui, est en fait un corollaire du théorème d'Al-Kachi.

Le lemme (Du grec ancien λήμμα (lḗmma), "proposition auxiliaire").
Au bas de l'échelle, on trouve les kleenex des énoncés mathématiques : les lemmes ! Ce sont les résultats intermédiaires qui permettent de découper la démonstration trop longue d'un théorème, histoire d'aérer un peu. Ils permettent en général de mettre en évidence un passage technique et pas intéressant d'une démo, ou bien de démontrer quelque chose qui n'a rien à voir avec le reste de la preuve sans en mettre partout.  Leur intérêt ne dépasse donc que rarement le cadre du théorème dont ils servent à la preuve, mais leur intérêt est primordial : pas de lemme, pas de théorème !
Ils se présentent généralement par la formule "Dans le cadre des hypothèses du théorème..." : inséparables du théorème, je vous dis !
Quelques lemmes sont néanmoins célèbres comme le lemme de Grönwall en équa diffs ou le lemme de Fatou en intégration.

La remarque  (du grec ? du latin ? )
Un exposé mathématique se présente toujours sous la forme d'une suite de définitions, de propositions de tous types et de démonstration. Pour se libérer de cette trop grande rigidité et respirer un peu, le mathématicien dispose d'une arme ultime : la remarque ! Dans une remarque, on peut apprendre qu'une démonstration de dix page aurait été considérablement réduite si on avait pris la peine de considérer la proposition du chapitre suivant, on peut apprendre que le résultat démontré est complètement faux dans un autre cadre ou que l'auteur a passé ses derniers vacances au club méditerranée...

Dans la famille des énoncés non démontrés :

La conjecture (du latin cum "avec, ensemble" et jacere "jeter" )
On entre dans la catégorie des énoncés peut-être vrais, mais non démontrés, avec les conjectures (et non les conjonctures). Quand un mathématicien a bien fait son travail de mathématicien, on peut lui accorder un certain crédit quand il énonce des choses qu'il n'a pas démontrées : l'énoncé prend alors son statut de conjecture, et la communauté mathématique prend son mal en patience et tente de le démontrer. Trois alternatives s'offrent alors :
- la conjecture est vraie : après un long travail, un mathématicien plus malin que le matheux original parvient à démontrer l'énoncé, et transforme la conjecture en théorème (comme la conjecture de Kepler devenue théorème de Hales ou la conjecture de Fermat devenu théorème de Wiles).
- la conjecture est fausse : après un long travail, un mathématicien malin a réussi à trouver un contre-exemple de dimension 1325 ou possédant plusieurs centaines de décimales.
- la conjecture est indémontrable : un mathématicien vraiment malin, après en avoir eu marre de chercher, a voulu montrer qu'il était vraiment inutile de chercher. C'est par exemple le cas de l'hypothèse du continu, qui peut être ou vraie, ou fausse, suivant le plaisir de chacun.
Même si une conjecture a été vérifiée pour un grand nombre de nombres (comme la conjecture de Goldbach, testée méticuleusement sur tous les nombres inférieurs à 1 trillion), elle n'est pas forcément vraie : seule une démonstration ou un contre-exemple peut la vaincre ! Pour plusieurs conjectures, une forte récompense est promise à ceux qui viendraient à la faire tomber !

Le postulat (du latin postulare "demander")
Pour ceux qui en ont marre de chercher les conjectures, il y a le postulat : un énoncé qui a tout bonnement l'air d'être vrai (qui, franchement, irait chercher des zéro non triviaux de la fonction Zeta de Riemann en dehors de la droite x=1/2 ?), mais dont on préfère laisser à d'autre le privilège de le démontrer.
Le postulat est donc une hypothèse de travail, que l'on demande à la communauté d'accepter comme vraie. Une fois que l'accord est passé, on peut bâtir tout une théorie, sans revenir sur les accords fondateurs. On ne compte plus les mathématiciens qui fondent leur travail sur le postulat que l'hypothèse de Riemann est vraie ! Si, par mégarde, on venait un jour à démontrer que le postulat de base est faux, toute la théorie s'écroule (en partant du postulat que 2=1, je peux affirmer que j'ai peint la Joconde... Mon postulat risque rapidement d'être démonté...)
Le postulat le plus célèbre est le 5ème d'Euclide : par un point extérieur à une droite passe une unique droite parallèle, qui fonde la géométrie euclidienne. En partant d'un postulat contraire, on fonde la géométrie hyperbolique ou la géométrie sphérique.

L'axiome (du grec ancien αξιωμα (axioma) « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») :
Plus fort que le postulat : l'axiome !
Pour démontrer un théorème, on s'appuie toujours sur des théorèmes, des propositions ou des lemmes déjà démontrés, eux aussi démontrés de la même façon. Si on cherche à remonter, encore on arrivera forcément à des évidences : les axiomes !
L'axiome est donc une vérité mathématique, définie comme étant vraie. On cherche évidemment à prendre les axiomes les plus évidents possibles, pour éviter toute polémique (L'axiome du choix est un parfait contre-exemple...).
Contrairement au postulat, il est hors de question d'avoir même l'idée de chercher à démontrer un axiome !  Il est vrai, et c'est tout. On peut cependant se poser des questions comme "Si je prends tel, tel et tel axiome, vais-je arriver à démontrer quelque chose et son contraire ?" ou "Tel énoncé peut-il être démontré à partir de tels axiomes ?".
A noter tout de même que la majorité des mathématiciens se moque complètement de ce genre de considérations...

Résumons donc les faits : Le corollaire n'est rien sans le théorème qui n'est plus grand chose sans ses lemmes. La proposition reste en retrait, et la propriété se fait encore plus discrète. Les axiomes essaient désespérément de se rendre importants et le postulat s'en moque. Tout ça pour rattraper la conjecture, beaucoup trop loin...


Sources :
Combien de mots esquimaux pour la neige ?