Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes

Plus que complexe

Ici, dans un éclair de génie, Hamilton découvrit la formule fondamentale des quaternions...

La semaine précédant la semaine dernière, après avoir réinventé les nombres entiers naturels et relatifs, les rationnels, les p-adiques et les réels nous nous étions arrêté au corps des nombres complexes (comme les réels, mais à deux dimensions). Après tout ce travail, on a envie de faire comme Hamilton, et généraliser encore les nombres complexes : des nombres à 3, 4 voire plus de dimensions ?!

Histoire de revoir toutes les définitions algébriques nécessaires à la compréhension globale de cet article, revenons à l'ensemble ℝ des nombres réels. L'ensemble ℝ est muni d'une addition (+) et d'une multiplication (.) qui vérifient tout un tas de propriétés intéressantes (on note a, b et c des éléments de ℝ):
(A1) [+ est une loi de composition interne] : a+b ∈ ℝ
(A2) [+ admet un élément neutre 0] : a+0 = 0+a = a
(A3) [+ est associative] : (a+b)+c = a+(b+c)
(A4) [les éléments de ℝ sont inversibles pour +, l'inverse de a est -a] : a+(-a) = (-a)+a = 0
(A5) [+ est commutative] : a+b = b+a
(A6) [. est une loi de composition interne] : a.b ∈ ℝ
(A7) [. admet un élément neutre 1] : a.1 = 1.a = a
(A8) [. est associative] : (a.b).c = a.(b.c)
(A9) [. est distributive par rapport à +] : a.(b+c)=a.b+a.c et (a+b).c=a.c+b.c
(A10) [les éléments de ℝ non nuls sont inversibles pour ., l'inverse de a est a^-1] : a.a^-1 = a^-1.a = 1
(A11) [. est commutative] : a.b = b.a

Grâce à (A1), (A2), (A3) et (A4) ℝ est un groupe
Grâce à (A5),  ℝ est en plus un groupe abélien (ou groupe commutatif)
Grâce à (A6), (A7), (A8) et (A9), ℝ est en plus un anneau (anneau commutatif avec le (A11))
Grâce à (A10),  ℝ est en plus une algèbre à division
Grâce à (A11),  ℝ est en plus un corps

Ce qui marche ici avec ℝ marche également avec ℚ et ℂ : ce sont des corps. ℤ, quant à lui, est juste un anneau commutatif, pendant que ℕ n'est algébriquement pas grand chose de très intéressant.

Par rapport à ℝ, l'ensemble ℂ des nombres complexes possède une dimension de plus, mais reste tout de même un corps : on peut y faire sans problèmes des multiplications et des divisions. Après avoir construit les complexes de la façon dont tout le monde connaît ("un nombre complexe est un nombre de la forme a+i.b, avec i²=-1"), le mathématicien écossais William R Hamilton a cherché à généraliser encore l'ensemble des complexes. Peut-on construire un ensemble de nombres de la forme a+i.b+j.c qui serait un corps, pour étendre les propriétés de ℂ à l'espace ?

Les quaternions de Hamilton
Quelles propriétés doivent vérifier i et j pour que l'ensemble des nombres a+i.b+j.c forme un corps ? On pourrait partir de i²=j²=-1, mais dans ce cas là, à quoi est égal i.j ? Hamilton a eu beau tourner le problème dans tous les sens, il s'est avoué vaincu : impossible de généraliser les complexes en dimension 3.
Convaincu tout de même que les complexes étaient généralisables, il s'attaqua aux nombres de la forme

a + b.i + c.j + d.k

où a, b, c et d sont des réels, et i, j et k des nombres plus qu'imaginaires. Le 16 octobre 1843, alors qu'il se promène tranquillement sur le Broom Bridge à Dublin, un éclair de génie le frappe ! Sous les yeux  de sa femme (sans doute exaspérée), il s'empresse alors de graver sur le pont :

i² = j² = k² = ijk = -1

Les quaternions venaient de naître ! En faisant quelques manipulations sur les égalités, on peut trouver la table de multiplication des unités :

A gauche, la table de multiplication des unités des quaternions
A droite, un moyen mnémotechnique pour s'en souvenir : i.j=k (en tournant dans le sens des flèches), et k.j=-i (en tournant dans l'autre sens)

Les additions se font quant à elles de la plus simple manière qui soit. Mais en voulant ajouter une dimension supérieure, on a tout de même perdu quelque chose d'essentiel : la commutativité de la multiplication ! On a, par exemple, k=ij ≠ ji=-k ! Mais cela ne va pas nous empêcher de faire des calculs !

(22-2i+6j+8k).(1+i-j) = 22.(1+i-j)-2i(1+i-j)+6j(1+i-j)+8k(1+i-j)
= 22 + 22i -22j -2i - 2i² + 2ij + 6j + 6ji - 6j² + 8k +8ki - 8kj
= 22 + 22i -22j -2i + 2 + 2k + 6j - 6k + 6 + 8k +8j + 8i
= 30 + 28i -8j -4k

(On pourrait donner la forme générale de (a+bi+cj+dk).(e+fi+gj+hk), mais c'est relativement casse-pied à écrire...)
On peut non seulement faire des multiplications, mais on peut même faire des divisions ! Pour cela, il faut définir (de la même façon que pour les nombres complexes) la norme et le conjugué d'un quaternion, de la façon suivante :

norme :
conjugué : (a+bi+cj+dk)^* = a-bi-cj-dk

On peut alors remarquer que, pour un quaternion Q, on a l'égalité Q.Q^*=||Q||². Cette égalité permet de calculer l'inverse d'un quaternion Q :

Pour diviser deux quaternions, il suffit alors de multiplier l'un par l'inverse de l'autre. Étant donné que la multiplication n'est pas commutative, on peut diviser de deux façons différentes : le nombre P/Q peut désigner P.Q^-1 ou Q^-1.P .

L'ensemble des nombres de la forme a+bi+cj+dk forme alors l'ensemble des quaternions, noté H. Cet ensemble (muni de son addition et de sa multiplication) vérifie toutes les propriétés de (A1) à (A10) : c'est une algèbre à division ! En doublant le nombre de dimension, pour passer de ℂ à H, on a alors perdu la commutativité (A11) : H n'est malheureusement pas un corps.

Le passage de ℂ à H a permit de donner de nouvelles racine carrées au nombre -1, puisqu'on a maintenant (±i)²=(±j)²=(±k)²=-1, soit, au moins 6 racines carrées pour -1 ! Mais on peut en fait remarquer qu'il y en a en fait une infinité, il suffit de prendre un triplet de nombres vérifiant b²+c²+d²=1, on aura alors (bi+cj+dk)²=-1.

Tout comme pour les complexes, il existe d'autres manières équivalentes pour construire les quaternions :

Géométriquement, d'abord : un quaternion a+bi+cj+dk peut se voir comme un couple (a,u), où a est un réel et u un vecteur de ℝ³. Ainsi, les opérations deviennent :

(Où ∙ représente le produit scalaire, et ∧ le produit vectoriel dans ℝ³)
A noter que les vecteurs ont été inventés par Hamilton à cette occasion !

Matriciellement, enfin : alors que l'ensemble des complexes peut se représenter sous la forme de matrices :

On peut copier cette écriture pour former facilement l'ensemble des quaternions :

(où a et b sont les conjugués de a et b dans ℂ)

Les octonions de Cayley
Peut-on encore pousser, et fabriquer des corps algèbres à divisions dans des espaces de dimensions 5, 6 ou plus ? Vous l'avez rêvé, l'anglais Arthur Cayley l'a fait ! En 1845, il fabrique l'ensemble 𝕆 des octonions (alias octaves de Cayley), qui est un ensemble de couples de quaternions. Il pose alors la multiplication suivante (où les nombres a, b, c et d sont des quaternions) :

L'ensemble ainsi fabriqué peut se voir comme un ensemble de nombres à 8 dimensions sur ℝ ! Les 8 unités  imaginaires sont alors :

Et tout octonion peut s'écrire sous la forme a₀+a₁e₁+a₂e₂+a₃e₃+a₄e₄+a₅e₅+a₆e₆+a₇e₇. On peut alors donner la table de multiplication des unités :

On s'aperçoit alors de deux choses :
- la multiplication n'est pas commutative (par exemple, e₃ = e₁e₂ ≠ e₂e₁ = -e₃). Faut dire que la multiplication des octonions provient de celle des quaternions, on s'y attendait !
- la multiplication n'est pas associative ! Par exemple, les calculs donnent (e₁.e₂).e₅ = e₃.e₅ = -e₆ et e₁.(e₂.e₅)=e₁.e₇=e₆ : on a pas toujours a.(b.c)=(a.b).c !

La division se définit de la même façon que pour les quaternions, mais l'ensemble que l'on obtient n'est pas une algèbre à division, ni même un corps, puisque la propriété (A8) n'est pas vérifiée ! Un corps ne semble pouvoir posséder que deux dimensions, 4 si on admet qu'un corps puisse ne pas être commutatif !

Ce que tous ces gens ne savaient pas encore, c'est que les seuls algèbres à division (l'endroit le plus général où faire des divisions sans trop se prendre la tête) plus grands que ℝ sont ℝ, ℂ et H , d'après le théorème de Frobenius, démontré au début du XXe siècle. Malgré tout, ces ensembles créés juste pour le plaisir de faire des gros ensembles de nombres, ont fait le bonheur des infographistes et des physiciens quantiques : rien de mieux qu'un quaternion pour représenter une rotation dans l'espace, et un octonion est parfait pour représenter le spin d'un électron (même si je n'ai aucune idée précise de ce dont il s'agit...)

Sources :
Beaucoup de wikipedia, un peu de de Chronomath (où la définition du produit des octonion n'est pas la bonne !), et quelques bouquins d'algèbre qui traînent...