Résumé des épisodes précédents :
Gerolamo venait de trahir le secret de Niccolo : pourra t-il lui refaire confiance un jour ? De l'eau a coulé sous les ponts, mais William et Arthur redécouvrirent le secret ! Pendant ce temps, Richard et Georg s'encanaillaient, sous les yeux de Giuseppe. John est au courant ! Mais que fait Kurt ?...

Nous ne le découvriront pas dans ce 9eme épisode de la grande saga des nombres !

Pour résumer autrement les huit derniers épisodes, on peut voir les choses comme ceci :

Pour_l_instant
En bleu, les anneaux (avec addition, soustraction et multiplication), en vert les corps (avec addition, soustraction, division et multiplication), en pointillé les ensembles dénombrables, et traits pleins les indénombrables
Les flèches indiquent "construit à partir de"

L'affaire du √2-gate a totalement ébranlé la conception des nombres chez les grecs : il existe des nombres qui ne sont pas rationnels ! Alors que les nombres rationnels sont faciles à construire à partir des entiers (il suffit de prendre les fractions), il est nettement plus difficile de construire les réels à partir des rationnels. Cantor et Dedekind l'ont fait (en faisant correspondre les réels aux points de la droite des nombres rationnels), mais il n'y sont pas allé avec le dos de la cuillère : le nouvel ensemble contient tous les rationnels (normal), contient √2 (on en attendait pas moins), mais contient aussi une infinité d'autres nombres, de eπ (≈23.141...) à φ (≈1.618...), en passant par ζ(42) (≈1.00000000000022737...). On ne voulait obtenir qu'une vulgaire racine carrée, et on se retrouve avec des monstres !

Il doit sûrement y avoir un corps de nombres plus simple où l'on retrouverait √2, mais sans se coltiner tout ces nombres que l'on ne saurait voir...
Aujourd'hui, levons le voile sur le monde des extensions de corps, un monde où tout est très compliqué, mais qui donne des réponses à toutes les questions que se sont posées les géomètres et algébristes antérieurs à Galois.

Extension simples de corps
Remontons presque trois semaines en arrière, avec la construction des nombres complexes à partir des réels. L'idée basique est de dire que l'on part de ℝ, que l'on ajoute les racines du polynôme X²+1 (les nombres  imaginaires i et -i), et que l'on regarde ce que l'on obtient.

Et si on faisait la même chose à partir de ℚ, et que l'on ajoute les racines du polynôme X²-2 (√2 et -√2) ? On va obtenir l'ensemble ℚ[√2] des nombres qui s'écrivent sous la forme

a+b.√2, où a et b ∈ ℚ

Dans cet ensemble de nombre, l'addition se fait de la même façon que sur les réels. Étonnement, la multiplication fonctionne très bien aussi, puisqu'en multipliant deux nombres de la forme a+b.√2,on trouve à nouveau un nombre de la forme a+b.√2. Comme pour les complexes ou les quaternions, on peut même les inverser, en jouant avec les conjugués et les normes :

operationQ_sqrt2_

Puisque l'on peut faire des divisions, ℚ[√2] est un corps ! On va donc lui préférer l'écriture ℚ(√2). {L'écriture A[α] désigne l'anneau engendré par A et α, et l'écriture A(α) désigne le corps engendré par A et α. Par le plus grand des hasards, ici, l'anneau ℚ[√2] est un corps, d'où ℚ[√2]=ℚ(√2). On avait de la même façon ℝ[i] = ℝ(i) (=ℂ) }

Si vous préférez √3 à √2, pas de problème ! On peut très facilement construire le corps  ℚ(√3) en prenant les nombres de la forme a+b √3, où a et b ∈ ℚ.

Dans tous les cas, on peut facilement obtenir un corps de dimension 2 sur ℚ contenant la racine carrée d'un nombre entier donné.

 

Tous ces exemples marchent pour des racines de polynômes de degré 2 (que les racines soient réelles ou qu'elles soient complexes). Que se passe-t-il quand on essaye de construire des corps pour d'autres nombres, comme 32, qui est racine du polynôme X3-2 ?
L'idée première serait de prendre tous les nombres de la forme a+b 32, mais un problème vient avec la multiplication : le produit 32 x 32 donne 34, qui n'est pas de la forme a+b 32... En fait, l'ensemble qui convient est plutôt l'ensemble des nombres de la forme

  a+b 32 +c 34, où a,b,c ∈ ℚ

On pourrait également vérifier que ℚ[32] est un corps, qui est cette fois-ci de dimension 3 sur ℚ, mais c'est plutôt casse-pied...

Nombres algébriques vs nombres transcendants
Le fait que ℚ[32] est de dimension 3 vient de la nature du nombre 32 : ce nombre est racine d'un polynôme de degré 3 (en l'occurrence, de X3-2), mais d'aucun polynôme de degré plus petit. Par le fait qu'il existe un polynôme qui l'annule, on dit que le nombre 32 est un nombre algébrique, et on peut même préciser qu'il s'agit d'un nombre algébrique de degré 3 (Quand je dis "algébrique", je sous-entend "sur ℚ"...). L'ensemble des nombres algébriques est (parfois) noté . Le polynôme X3-2, plus petit polynôme (unitaire) qui annule 32, est appelé polynôme minimal de 32.
Bref, on dit qu'un nombre complexe est algébrique si il existe un polynôme qui l'annule, et le plus petit d'entre eux est son polynôme minimal.

Si α est un nombre algébrique de degré n, l'anneau ℚ[α] sera un corps (ℚ[α]=ℚ(α)), et sera de dimension n sur ℚ. Les éléments de ℚ(α) sont de la forme :

a0 + a1 α + a2 α2 + ... + an-1 αn-1, où les ai ∈ ℚ

Dans ce corps, les additions se font naturellement. Pour les multiplications, c'est un plus galère, et la division est encore moins sympa. Je pourrais la décrire, mais je ne suis pas sûr que ça apporte quelque chose à cet article...
On peut facilement construire un nombre algébrique de degré fixé n en prenant par exemple le nombre n2, de polynôme minimal  Xn-2. L'ensemble  ℚ(n2) est alors un corps de dimension n : on peut donc construire des corps de n'importe quelle dimension ! Il existe même des corps de dimension infinie,  en est un bel exemple.

Notons tout de même que les nombres algébriques ne sont pas forcément réels ! Le nombre i, racine du polynôme X²+1, est également algébrique.

Évidemment, l'existence de nombre algébrique implique l'existence de nombres pas algébriques (on dit plutôt "transcendants". Un nombre comme π est transcendant : il n'existe aucun polynôme qui l'annule (démontré en 1882 par Lindemann) ! Il a fallu tout de même attendre Leibniz pour penser que de tels nombres existent !
Le premier nombre transcendant ayant été découvert (et créé spécialement pour donner un exemple de nombre transcendant) la constante de Liouville, qui ressemble à 0.11000100000000000000000100000000000000000 {des 0 partout, sauf quand la décimale tombe sur une factorielle (1, 2, 6, 24, 120...)}.

On peut tout de même faire des extensions de corps avec les nombres transcendants, mais elles seront bien moins jolies. L'ensemble ℚ[π] est constitué desce sont les polynômes en π, autrement dit, des nombres de la forme :

a0 + a1 π + a2 π2 + ... + an πn, où les ai ∈ ℚ et n ∈ ℕ

Mais ℚ[π] n'est pas un corps : il est impossible d'y faire la moindre division. Pour pouvoir construire le corps  ℚ(π), il n'y a pas le choix : c'est l'ensemble des fractions rationnelles en π :

corps_pi

Corps de rupture
(C'est le paragraphe où l'on fait du chipotage pour compliquer les choses encore plus qu'elles ne le sont déjà)

Pour construire le corps ℚ(√2), on a bêtement dit "on prend ℚ, on ajoute √2 et on obtient ℚ(√2)". On fait ça sans problèmes, puisque l'on connaît parfaitement l'ensemble ℝ où se trouve √2. Mais comment l'expliquer à un grec qui ne jure que par l'ensemble ℚ ?

Il faut trouver un moyen détourné pour construire ℚ(√2) sans avoir recours aux nombres réels, et ce moyen s'appelle "corps de rupture" !

Considérons donc l'ensemble ℚ[X] des polynômes à coefficient dans ℚ. Les polynômes peuvent s'additionner ou se multiplier sans problème : c'est un anneau. Un base (sur ℚ) de ces polynômes est l'ensemble (1, X, X², X3,...)

On peut même dire plus : c'est un anneau euclidien, parce qu'on peut y faire, comme sur les entiers, des divisions euclidiennes (division avec reste). Si A et B sont des polynômes (avec deg(B)>deg(A)), on pourra toujours écrire A(X)=B(X).Q(X)+R(X), où Q et R sont dans  ℚ[X], et deg(R)<deg(B).

Par exemple, la division de X5 par X2-2 est :

X5 = (X2-2).(X3+2X) + (4X)
avec Q(X)=X3+2X
et R(X)=4X

On dit que deux polynômes Q et Q' sont équivalents par rapport à P s'ils ont les même reste lors de la division euclidienne par P. Si deux polynômes sont équivalent, ils sont dans la même classe d'équivalence, et on note ℚ[X]/(P) l'ensemble des classes d'équivalence. Dans l'ensemble ℚ[X]/(P), on dira que deux polynômes équivalents sont égaux.
Par exemple, dans ℚ[X]/(X²-2), on a X5  = X3+2X = 4X (La division des polynômes  X5, X3+2X ou 4X par X²-2 donne 4X dans les trois cas). On peut voir l'ensemble  ℚ[X]/(X²-2) comme l'ensemble des restes possibles lors de la division d'un polynôme par X²-2.

On peut alors lister quelques propriétés de ℚ[X]/(X²-2)
- Les restes de la division d'un polynôme par X²-2 est un polynôme de degré au plus 1, c'est donc un polynôme de la forme aX+b, où a,b ∈ ℚ. C'est donc de dimension 2 sur ℚ, et une base est (1,X).
- Dans ℚ[X]/(X²-2), le polynôme X vérifie X²-2=0 : c'est une racine de X²-2 (Dans ℚ[X]/(X²-2))
- C'est un corps ! (même si les vérifications sont plutôt casse-pied)

En identifiant X dans ℚ[X]/(X²-2) au nombre √2 dans ℚ(√2), on peut dire sans problèmes que ℚ[X]/(X²-2)=ℚ(√2) ! On vient de construire ℚ(√2) sans jamais faire appel aux nombres réels !

Pour n'importe quel polynôme (irréductible), on peut faire le même travail : pour un polynôme P de degré n, on peut fabriquer l'ensemble ℚ[X]/(P) des restes de la division euclidienne dans ℚ[X] par P.
- C'est un ensemble de dimension n sur ℚ
- Le polynôme X est une racine de P
- C'est un corps (Si P est irréductible)

Si α est une racine (dans C) du polynôme P, les deux corps ℚ(α) et ℚ[X]/(P) seront les mêmes en identifiant X à α ! Une tout autre façon de construire les corps ℚ(α) sans se soucier de la valeur de α.

A quoi ça sert ?
Mine de rien, la théorie des corps (qui est ici seulement esquissée dans ses grands traits) est la théorie qui a permit de répondre à toutes les grandes questions algébriques, de l'antiquité à la renaissance :
- La quadrature du cercle : impossible !
- La duplication du cube : impossible !
- La trisection d'un angle quelconque : impossible !
- La construction d'un heptagone régulier : impossible !
- Une formule donnant les racines d'un polynôme de degré 5 ou plus à partir des coefficients du polynôme : impossible !

Ce dernier problème est celui qui a motivé à la création de la théorie des corps par Evariste Galois (1811-1832), dans une forme bien moins propre que celle que l'on trouve dans tous les livres d'algèbre. Galois reste surtout célèbre pour être un grand héros romantique, puisqu'il est mort bêtement en acceptant un duel qu'il savait qu'il allait perdre, seulement pour les beaux yeux de sa bien aimée...

 

apres

La semaine prochaine, nous passerons au dixième épisode de cette trop longue saga, pour ajouter plein de nouvelles cases à ce diagramme !


Sources :
Essentiellement, le même bouquin d'algèbre qui traîne que la semaine dernière...
Retrouvez la vie de Evariste Galois sur Wikipédia !

Dans un souci de vulgarisation, j'ai allègrement mélangé les anneaux, les espaces vectoriels et les A-modules, j'espère que vous ne m'en voudrez pas trop...


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