Si vous connaissez le prénom de Dr House, si vous savez qui a été gracié à la place de Jésus, si vous vous souvenez de qui a marqué le premier but de Roumanie-France en 1995 ou si vous vous rappelez le nom de ce grand acteur italien mort le 22 octobre 1987, vous avez la culture générale minimale pour atteindre le deuxième palier chez Jean-Pierre Foucault. Pour passer à la télé, un minimum de culture mathématique est nécessaire : il faut connaître la racine carrée de 49, savoir qu'un pentagone possède 5 côtés et... euh... en fait, c'est à peu près tout.
Dans tous les domaines, une culture minimale est nécessaire, et les mathématiques sont un domaine comme un autre. Et puisque les maths, c'est quand même la science de la démonstration, une culture acceptable minimale doit en comporter quelques unes ! Les deux que je vais vous présenter ne vous serviront pas à gagner des millions, vous aurez  sûrement du mal à les placer dans une conversation autour la machine à café et elles ne vous permettront pas de réparer les fuites de la chasse d'eau, mais seulement à toucher du doigt une vérité universelle et inébranlable. C'est déjà pas mal.

Je vous interdis donc de quitter cette page sans pouvoir être capable de démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers, ou sans pouvoir démontrer que √2 est un nombre irrationnel.

Il existe une infinité de nombre premiers
Un nombre premier est un nombre (entier), comme 2, 3, 5, 7 ou 11, possédant exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Un nombre qui n'est pas premier (appelé "nombre composé") est un nombre qui peut s'exprimer comme le produit de deux nombres plus petit : 6 n'est pas premier, puisque 6=2×3. A noter que le nombre 1 n'est PAS un nombre premier, puisqu'il n'a que un seul diviseur.
A priori, il n'est pas évident qu'il existe une infinité de nombres premiers, et pourtant, les Grecs (même sans comprendre le sens de "infini"), l'avait déjà compris au IVe siècle avant Barabbas ! Les origines de cette démonstration sont incertaines, mais elles ont été publiées pour la première fois dans les Éléments d'Euclide il y a de cela 2300 ans. Après Euclide, quiconque étant sensé ne pouvait réfuter l'existence de nombres premiers aussi grand que désiré, quel que soit ses opinions politiques, religieuses et philosophiques !

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Place, donc, à la démonstration.

Supposons qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers (disons qu'il en existe n). Rangés dans l'ordre croissant, on peut les noter

p1, p2, p3, ..., pn

et considérons le nombre entier N, constitué du produit de tous les nombres premier plus un :

N = p1 . p2 . p3 . ... . pn  + 1

Il est clair que ce nombre N est plus grand que n'importe quel nombre présent dans la liste des nombres premiers, et donc, n'est pas premier (sinon, il y a contradiction). Le nombre N peut donc être écrit comme le produit de deux nombres plus petit : N=a×b. Cette décomposition, on peut la prendre de façon à ce que a soit le plus petit possible, et donc premier. On a donc la décomposition :

N = pi × q, avec i entre 1 et n, et q entier

Autrement écrit :

p1.p2.p3....pn + 1 = pi × q

En divisant par pi  des deux côtés, on trouve:

demo_nb_premiers

La fraction [p1.p2.p3....pn]/pi va se simplifier, et donner un nombre entier. Le nombre q est également un nombre entier. Pour satisfaire l'égalité, le nombre 1/pi  doit lui aussi être un nombre entier.
Puisque pi  est un nombre premier, il est supérieur à 2. Le nombre 1/pi  n'est donc pas un nombre entier. Il y a une contradiction !

Moralité : si il existe un nombre fini de nombres premiers, le nombre N ne peut être ni premier, ni composé. Un nombre ne peut pas être ni l'un, ni l'autre : il existe donc un nombre infini de nombres premiers !

CQFD

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Dans cette démonstration, quand on suppose qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers, le nombre N n'est ni premier, ni composé.
Quand un nombre s'écrit sous la forme  p1.p2.p3....pn + 1 (avec (pi) la suite des nombres premiers inférieur au n-ième nombre premier), on ne peut en fait rien dire sur la primalité de ce nombre. par exemple :
2.3.5+1 = 31 (premier)
2.3.5.7+1 = 211 (premier)
2.3.5.7.11+1 = 2311 (premier)
2.3.5.7.11.13+1 = 30031 = 59.509 (non premier !)
2.3.5.7.11.13.17+1 = 510511 = 19.97.277 (non premier !)

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Cette démonstration étant la démonstration la plus célèbre, de nombreuses réécritures ont été proposées, notamment :

La démonstration en moins de 33 mots :

S'il n'y avait qu'un nombre fini de nombres premiers, leur produit additionné de 1 serait divisible par l'un d'eux, donc 1 le serait aussi, ce qui est absurde.

La démonstration sans utiliser la lettre E (Par Nicolas Graner) :

Soit un cardinal A.
On dit qu'il a pour "divisant" un cardinal B, si la division d'A par B n'a aucun rompu, c-à-d si A vaut B plus B plus B ... (n fois).
Nommons "primitif" (on aurait pu choisir "primal") un cardinal A qui n'a aucun divisant plus grand qu'un.
Montrons qu'il y a toujours un primitif plus grand qu'un cardinal pris au hasard, donc qu'ils s'accroîtront jusqu'à l'infini.
Tout d'abord, nous connaissons la proposition 1 (qu'on pourrait garantir sans aucun mal si on voulait) : si A a pour divisant B (pour tout B plus grand qu'un), alors A plus un n'a jamais pour divisant B.
On sait aussi (proposition 2) qu'un cardinal ayant au moins un divisant, a toujours au moins un divisant primitif (car s'il a un divisant non primitif, son divisant a aussi un divisant ; or tout divisant d'un divisant d'un cardinal produira aussi un divisant du cardinal).
Supposons donc (supposition 1) qu'il y ait N primitifs au total (pour un N fini), ni plus ni moins, soit p1, p2 ... pN.
On a alors un cardinal X produit par la multiplication p1 fois p2 fois ... fois pN. On voit qu'X a pour divisants p1, p2 ... pN.
Soit alors Y qui vaut X plus un, voyons par quoi nous divisons Y. Suivant la proposition 1, Y n'a pour divisant ni p1, ni p2, ... ni pN. Il n'a donc pour divisant aucun primitif (car nous supposons ici qu'il n'y a aucun primitif à part p1, p2 ... pN). Or, suivant la proposition 2 (par contraposition), s'il n'a aucun divisant primitif, il n'a aucun divisant du tout.
On voit donc qu'il y a un cardinal Y qui n'a aucun divisant, c-à-d un primitif, qui n'apparaît pas dans p1, p2 ... pN. D'où la contradiction qu'on voulait par rapport à la supposition 1.
Conclusion : on pourra toujours bâtir un primitif plus grand qu'un cardinal fourni, ad infinitum. CQFD.

Et enfin, la démonstration sous forme d'Haiku, par xkcd :

haiku_proof


Le nombre √2  est irrationnel
On sait, depuis Pythagore, que la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1 est égal à "racine de 2", un nombre qui, multiplié par lui-même, est égal à 2. On le note √2.

L'école Pythagoricienne, une secte-école fondée par Pythagore, avait pour principe philosophique de penser que le monde n'était fait que de nombres -entiers- ou de rapports de nombres. Le scandale éclata quand il fut démontré que le nombre  √2 n'entrait pas dans cette vision philosophique du monde, bien que c'est la longueur de la diagonale d'un carré. Qu'on le veuille ou non, la preuve était là, indubitable, et certains (d'après la rumeur) en ont payé le prix !

Le nombre √2  est en fait un nombre irrationnel : on ne peut pas trouver deux nombres (entiers) a et b qui vérifient :

sqrt2ab

Autrement dit, le nombre   √2 ne peut s'exprimer comme le rapport de deux nombres entiers

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Place, donc, à la démonstration.

Supposons que √2 puisse s'exprimer comme le rapport de deux nombres entiers : il existe donc deux nombres a et b tels que la fraction a/b soit irréductible (Notamment, a et b ne peuvent être tous les deux pairs), et qui vérifient :

2 =a/b

En élevant au carré des deux côtés de l'égalité, on a donc :

2 = a²/b²

On peut multiplier des deux côtés par b² :

2b² = a²     (**)

(*) Puisque b est un nombre entier, b² aussi, et donc, 2b² est un nombre pair. Le nombre a² est donc lui aussi pair. Si un nombre est pair, son carré est pair, et vice-versa : le nombre a est donc pair, et peut s'écrire sous la forme

a = 2a'

Avec a' un nombre entier. En élevant au carré, on trouve donc

a² = 4a'²

En remplaçant dans la formule (**), on trouve :

2b² = 4a'²

En simplifiant des deux côtés par 2, on trouve alors :

b² = 2 (a'²)

De la même façon qu'à la ligne (**), on en déduit que b² est pair, et donc que b est pair.

Finalement, les nombres a et b sont tous les deux pairs : cela contredit l'hypothèse demandant à ce que la fraction a/b soit irréductible !

Le nombre √2 ne peut donc pas s'écrire comme le rapport de deux nombres entiers. CQFD.

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Ces deux démonstrations possèdent de nombreux points communs : elles ont bien plus de 2000 ans et sont à la portée de n'importe qui (de volontaire), mais surtout, elles suivent le même schéma de démonstration : une démonstration par l'absurde : pour démontrer quelque chose, on suppose son contraire jusqu'à ce que l'on comprenne que cela est complètement absurde.

"Vous pensez que votre politique est la bonne ? Voilà ce qui va se passer, et pourquoi ceci est contraire à ce que vous vouliez !... "


Sources :
Merveilleux nombres premiers, Jean-Paul Delahaye (Pour la partie sur les nombres premiers)