ECN_menger_800_1

C'est arrivé le 29 juin dernier, et l'information a été relayée par la plupart des blogs mathématiques : une éponge de Menger réalisée sans le moindre point de colle, seulement à partir de 66048 tickets de bus !

Ticket
Ticket de bus basique :
6.6 cm × 3.0 cm
un peu moins de 0.5 g
1.50€ (bien trop cher) et valable une heure

La réalisation a duré dans les 600 heures par une équipe d'origamistes surentraînés composée de seulement Michel Lucas, prof d'info à la retraite depuis 2004 et passionné d'origami (il est membre du MFPP, le mouvement français des plieurs de papier). Une équipe d'ingénieur a également été mobilisée pour collecter la matière première, étudier la résistance des matériaux, et sûrement pour tester sa résistance au vent et aux séismes...

L'éponge de Menger est en ce moment exposée dans le hall de l'école centrale de (la belle ville de) Nantes, et j'ai justement profité d'une pause déjeuner pour aller voir moi-même la bête dont tout le monde parle !
Première constatation : l'éponge n'est pas dans le hall !
Deuxième constatation, après avoir demandé notre chemin au gentil personnel de l'administration : l'éponge est en fait au fond du bâtiment G, sous sa cloche protectrice :

 


(J'ai pris la première musique qui me tombait sous la main...)

L'objet final mesure 60cm de côté, et pèse ses 30 kg...

m3visite11
Intérieur de l'éponge

Une éponge de Menger ?
L'éponge de Menger est un objet fractal (auto-similaire) imaginé en 1926 par le mathématicien autrichien Karl Menger. Mathématiquement, on construit l'éponge en partant d'un cube unité, en le divisant en 27 sous-cubes et en évidant tous les cubes centraux. Il reste alors 20 cubes plus petits, sur lesquels on réalise les même forage. L'éponge de Menger est l'objet que l'on obtient après une infinité d'étapes.

Menger_sponge__Level_1_4_
Éponge de Menger d'ordre 0 (le cube unité), d'ordre 1, d'ordre 2 et d'ordre 3

En fait, l'éponge de Menger réalisée en tickets de bus n'en est pas une, c'est plutôt une éponge de Menger d'ordre 3. On peut voir que l'éponge d'ordre 3 est composée de 20 éponges d'ordre 2, elles-mêmes composées de 20 éponges d'ordre 1.

En supposant le cube original de côté 1 (c'est le principe du cube unité), on peut facilement calculer le volume de l'éponge d'ordre n. En effet, pour passer d'un ordre au suivant, on ne garde que 20/27 du cube. Un rapide calcul montre que l'éponge d'ordre n a alors un volume Vn=(20/27)n. Pour n=∞, on trouve donc que l'éponge de Menger est un objet tridimensionnel de volume... nul !
Pour ce qui est de la surface, par contre, elle augmente à chaque itération, et finie avec une surface infinie. L'éponge de Menger est donc un exemple d'objet 3-dimensionnel contenu dans un volume fini, de volume nul et de surface infinie !
Sa raison d'être est de généraliser à la 3eme dimension les poussières de Cantor, qui possède tout un tas de chouettes propriétés topologiques...

Comment construire chez soi sa propre éponge de Menger ?
Après vous avoir muni d'un stock inépuisable de tickets de bus, ou autre bouts de papier cartonnés rectangulaires (si possible, d'un ratio 2:1, ou plus petit), vous pouvez commencer à préparer les ailettes sur chaque ticket. Cette étape consiste à plier les tickets en 3 de manière à former un carré à ailettes :

ailettes
Préparation des ailettes en posant deux tickets l'un sur l'autre

Une fois tous les tickets bien pliés, vous pouvez commencer à fabriquer une éponge de Menger d'ordre 0 (un cube, quoi). Il suffit de prendre 6 tickets, et de suivre les étapes ci-dessous :

construc_cube
Construction du premier cube

Pour votre deuxième cube, munissez-vous à nouveau de six tickets. Les deux premiers seront à coincer sous les ailettes du premier cube, sur lesquelles vous poserez votre troisième ticket. Les 4 derniers sont à poser de la même façon que pour le premier cube.

construc_2emecube
Construction du deuxième cube

En suivant les mêmes méthodes, vous pourrez ajouter autant de cubes que vous voulez, sauf si la structure vous explose sous les doigts... Pour éviter ce problème, il ne faut pas oublier de panneler toutes les facettes qui resteront à l'extérieur. Le pannelage consiste à imbriquer les ailettes qui dépassent avec les ailettes d'un autre ticket :

construc_pannelage
Pannelage d'une face

Avec suffisamment de temps devant vous, de matériel et de méthode, vous pourrez réaliser une éponge de Menger de n'importe quel ordre !

Mais au fait, combien de tickets seront nécessaires pour l'éponge d'ordre n ?
En notant Cn le nombre de cubes (6 tickets par cube) et Pn le nombre de facettes extérieures (1 ticket par facette), on compte que le nombre de tickets nécessaire à la réalisation de l'éponge d'ordre n est Tn=6.Cn+Pn.
On trouve facilement que Cn=20n (En augmentant d'un ordre, on multiplie par 20 le nombre de cubes).
Pour Pn, on peut utiliser la formule récursive suivante : P0=6 et  Pn+1=8.Pn+24.Cn (Chaque facette est divisée en 8, et on ajoute à chaque cube 24 facettes intérieures).

Le nombre de tickets nécessaires pour réaliser une éponge de Menger d'ordre n est donc :
T0 = 12
T1 = 192
T2 = 3 456
T3 = 66 048
T4 = 1 296 384

Michel Lucas a d'ailleurs juré solennellement qu'il ne ferait jamais d'éponge de Menger d'ordre 4 en origami !

eponge_ebauche
Mon éponge de Menger d'ordre 4 avance doucement...

Quoi de neuf à Nantes ?
Et pour terminer dans le thème "fractales à Nantes" :

Mandelbrot_Facult_s Mandelbrot_Egalit__2 Mandelbrot_Bretagne
À gauche, un Mandelbrot tagué sur un poteau de tram, à l'arrêt facultés
Au milieu, un Mandelbrot tagué au sol, à l'arrêt égalité
À droite, un Mandelbrot tagué au sol, au pied de la tour de Bretagne

Y en a t-il d'autres ? Je lance l'appel à tous les matheux Nantais !


Sources
Le site officiel du projet Am-stram-gram : http://www.defi66000.fr
Les images de construction ont été volées là-bas