De quoi parler pour fêter la nouvelle année qui commence ?...

Dr Goulu, grand spécialiste de ce qui est intéressant, a fait la recherche suivante grâce à l'OEIS : quelle est l'année la plus intéressante entre 2009 et 2010.

La réponse est réjouissante, puisque 2010 est grosso modo 1.45 fois plus intéressante que 2009 :
Le nombre 2009 ne possède que 32933 90 propriétés intéressantes (comme, par exemple, être un numérateur d'une fraction de la forme 1/16-1/n² [A061041]- ce qui semble intéresser les physiciens qui en ont besoin pour connaître le spectre de l'hydrogène -, être un nombre n qui divise le nombre 6ⁿ + 5ⁿ + 4ⁿ + 3ⁿ + 2ⁿ + 1ⁿ [A056745] ou bien être une année dont le 1er janvier commence un jeudi [A162241])
Le nombre 2010, quant à lui, possède 131 propriétés.

Histoire de bien débuter l'année, découvrons grâce à l'encyclopédie de Sloane quelles sont les propriétés de 2010 et/ou quelles sont les suites dans lesquelles se retrouve le nombre 2010 ! Voici quatre petits exemples pris (presque) au hasard parmi les 131 :

A063967
Le triangle de Pascal, c'est ça :

Un triangle de nombres où l'on commence par mettre un 1 en première position, et où chaque nouveau terme s'obtient en faisant la somme des deux termes juste au dessus (s'ils existent). Par exemple, 126=70+56.
En gardant le même principe, mais en prenant la règle "on obtient chaque nouveau terme en faisant la somme des deux termes juste au-dessus, et de 2 des 3 termes encore au-dessus". On trouve alors :

Dans ce triangle, on a par exemple 591=271+179+95+46. Sur la 11eme ligne, on retrouve... 2010 !

A007623
Depuis que l'Homme a 10 doigts et sait compter, il compte en base 10 : ainsi, quand on parle du nombre écrit "124", on parle du nombre 4×1 + 2×10 + 1×100. La suite référence de la base 10 est ainsi (1, 10, 100, 1000, ...), ie, la suite des puissances de 10.
Changer de base revient à changer de suite de référence. La base 2 correspond par exemple à la suite des puissances de 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...). En binaire, le nombre 101 101₍₂₎ signifie alors 1×1 + 1×4 + 1×8 + 1×32, soit 45 (en base 10). Le nombre 5021₍₂₎ signifie donc 1×1 + 2×2 + 5×8, soit 45 également. Par souci d'unicité, on limite les chiffres permis à 0 ou 1 (L'écriture 5021 n'a alors plus lieu d'être, et chaque nombre possède son écriture en base 2)

Mais aucune raison de se limiter à une suite de puissances. On peut prendre... la base factorielle, par exemple. La suite de référence est alors  (1, 2, 6, 24, 120, ...), la suite des factorielles (1, 1×2, 1×2×3, ...). Un nombre comme 1300_(f) signifie alors 3×6 + 1×24.
Dans le même souci d'unicité que précédemment, il faut limiter les chiffres à utiliser : le chiffre des unités ne doit être que 0 ou 1, celui des 2-aines doit être 0, 1 ou 2, celui des 6-aines doit être entre 0 et 3, etc. (Celui des n!-aine doit être entre 0 et n). On peut alors compter en base factorielle :

1, 10, 11, 20, 21, 100, 101, 110, 111, 120, 121, 200, 201, 210, 211, 220, 221, 300, 301, 310, 311, 320, 321

On peut voir que le nombre 119₍₁₀₎ s'écrit 4321_(f), mais surtout, le nombre 50₍₁₀₎ s'écrit... 2010_(f) !

A152132 (Le problème du voyage de la tour)
Aux échecs, la tour peut avancer horizontalement et verticalement sur l'échiquier d'autant de case qu'elle le souhaite. Le problème de "la promenade de la tour" consiste à voyager avec une tour sur toutes les cases de l'échiquier sans s'arrêter deux fois sur la même case, et en revenant à son point de départ. On peut se poser le problème du chemin nécessitant le moins de mouvement (sur un échiquier classique 8x8, on peut le faire en moins de 16 mouvements). On peut aussi se poser la question du voyage le plus long :

Sur un échiquier 3x3, le voyage le plus long possible est par exemple de 14 cases :

Ici, pour aller de 0 à 1, on avance de 2 cases, puis 2 cases supplémentaires pour aller à 2, et ainsi de suite. Au final, le voyage a une longueur de 14 cases.

Sur un échiquier 14x15, le plus long chemin est de... 2010 cases !
(Si quelqu'un dispose d'une illustration de ce chemin, je suis preneur...) 

A001208 (Le problème des timbres postaux)
Les Irakiens disposent de 5 sortes de timbres, chacun ayant pour valeur un nombre entier différent de dinars. En utilisant au maximum 3 timbres, on peut affranchir n'importe quelle lettre d'une valeur arbitraire entre 1 et 36 dinars (une lettre peut éventuellement avoir plusieurs timbres de même valeur). Quelles sont les valeurs de ces timbres ?
Avec un bon programme informatique, on peut retrouver la solution : les timbres valent 1, 4, 6, 14 ou 15 dinars.

Le problème inverse se pose : quelle est la plus grande valeur n telle que, pour un bon jeu de d timbres, on puisse affranchir n'importe quelle lettre d'une valeur arbitraire entre 1 et n en utilisant au maximum s timbres ? (L'énoncé du problème est optimal : pour d=5 et s=3, on trouve n=36).

Avec un bon ordinateur, on peut alors s'amuser à calculer la valeur de n pour différentes valeurs de d et de s :

Premières valeurs de n, d'après A014616, A001208 et A001209 

Pour d=3 et s=30, on trouve... 2010 !
Dit autrement, on peut affranchir n'importe quelle lettre de moins de 2010 dinars avec 30 timbres d'une valeurs de 1, 23 ou 169 dinars.

Et sinon, 2010 est également :
- un nombre n'utilisant que des chiffres parmi 1, 2 et 4, et dont le carré obéit à la même contrainte [A136816]
- un nombre de la forme 15(15n²-1) [A158559]
- le produit du 19e nombre premier et du 19e nombre composé (puisque 2010=67×30) [A136816]
- un nombre 21-gonal [A051873]
etc

Tout ça pour vous souhaiter une très bonne année 2010, et qu'elle soit au moins 1.45 fois plus intéressante que l'année qui vient de s'écouler !

Et la santé !