La nouvelle vient de tomber sur les téléscripteurs : le 31 décembre dernier, le français Fabrice Bellard a explosé le record de Daisuke Takahashi, en calculant 2 699 999 990 000 (2.7 billions de) décimales du nombre pi. Le précédent record datait de août 2009, et ne comptait (que) 2 576 980 370 000 décimales (une différence de 100 milliards, donc).

Mais la prouesse n'est pas dans les chiffres, mais dans le matériel utilisé. Alors que Takahashi a utilisé un super calculateur (le 42eme plus gros calculateur mondial) de quelques millions de dollars, Bellard s'en est sorti avec un ordinateur de bureau et du bon matériel pour moins de 2000 €. 1$ pour un millions de décimales pour le japonais et 1€ pour un milliard de décimales pour le français !
La différence de matériel s'est tout de même ressenti dans les temps de calculs : 3 jours avec le super calculateur, et 131 jours avec l'ordinateur de bureau...

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459
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8566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588
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8414695194151160943305727036575959195309218611738193261179...

440 décimales exactes : on ne les connaît que depuis 1853 !

Époque première : la géométrie
La formule donnant le périmètre p d'un cercle par rapport à son rayon r s'apprend dès le plus jeune âge : p=2πr, où π est un nombre valant "troisquatorze". On apprend dans les classes supérieures que pi est un nombre tout à fait particulier, puisque qu'il possède une infinité de décimales. On peut écrire les premières, mais on ne pourra jamais les écrire toutes. Le grand jeu des mathématiciens de toutes les époques a toujours été le même : définir avec le plus de précisions les premières décimales de pi.

cercle_pi

En renversant l'égalité p=2πr, on trouve que, pour n'importe quel cercle, on aura π=p/2r. Les premiers calculs déterminant π se basent la dessus : si on approche suffisamment p et r, on peut trouver une valeur intéressante pour pi.

4000 ans avant JC : π ≈ 3.125
La plus ancienne approximation de pi nous vient des Babyloniens. En inscrivant un hexagone dans un cercle, ils en ont déduit la valeur approximative de 3+1/8 (avec tous les anachronismes dont je peux faire preuve, puisqu'ils ne connaissaient pas les fractions, et encore moins l'existence d'une constante pi). Selon les occasions, ils n'utilisaient pas la même valeur pour pi : il y a le pi correspondant au rapport du périmètre d'un cercle à son diamètre, et le pi correspondant au rapport de l'aire d'un disque sur le carré de son rayon...

1650 avant JC : π ≈ 3.16049383...
Les Egyptiens avaient aussi leur truc pour calculer l'aire d'un disque. A partir de son diamètre D, il suffisait d'appliquer la formule S=(D-D/9)², ce qui donne à pi une valeur de (16/9)². On ignore s'ils avaient conscience que cette valeur n'était qu'approchée.

550 avant JC : π = 3
Quand la Bible parle géométrie, elle n'y va pas de mains morte ! Dans le Livre des rois, on donne, à travers quelques considérations sur les mesures d'un chaudron en bronze, une valeur de "3 tout rond" au nombre pi...

250 avant JC : π ≈ 3.140845...
Archimède explose l'évaluation de pi, en proposant l'encadrement 223/71 < π < 22/7. Il reprend l'idée des Babyloniens, mais inscrit dans son cercle non pas un hexagone, mais successivement des polygones à 6, 12, 24, 48 et 96 côtés, approchant le cercle. Puisqu'il connaissait les périmètres de ces polygone, il a pu approcher la valeur de pi, le tout sans aucune notation algébrique ou système de numération actuel.

1450 après JC : 3.141592653589793242423665...
En Occident, les améliorations quant à l'approximation de pi se font maigre (rien de très intéressant entre Archimède et les débuts de l'analyse). Le reste du monde ne se tourne pas les pouces. En 263, le Chinois Lui Hui pousse le calcul d'Archimède aux polygone à 192 côtés, et gagne une décimale. Au Ve siècle, le calcul d'Archimède est poussé avec un polygone à 3072 côtés, et donne une approximation de pi juste à 7 décimales.
Du côté des arabes, c'est l'astronome Al-Kashi (connu au lycée pour son théorème) qui améliore une nouvelle fois le calcul d'Archimède. En prenant l'équivalent d'un polygone à un milliard de côtés, il atteint les 16 décimales exactes. C'est la première fois que l'on dépasse la dizaine de décimales !

 

Époque secondaire : l'analyse
Quand Newton et Leibnitz ont inventé le calcul différentiel, ils ne se doutaient peut-être pas dans quoi ils mettaient les doigts. Ils ont engendré les monstres que sont les séries infinies, d'une importance capitale dans la quête du "calculer plus pour avoir plus de décimales".

La formule de l'arc tangente
La fonction arctangente, plus connue sous le nom de "touche [tan-1]" sur les calculatrice, est d'une importance capitale pour le calcul de pi. C'est la fonction réciproque de la fonction tangente : quand on connaît la tangente d'un nombre, on utilise l'arctangente pour connaître ce nombre. On apprend au lycée que tan(π/4)=1, on a donc arctan(1) = π/4. Si on sait calculer avec précision la valeur de arctan(1), on pourra connaître la valeur de π/4 (et donc de π).
La découverte du mathématicien écossais James Gregory, au cours du XVIIe siècle est la formule suivante :

arctan_formula

Autrement dit, pour x=1 :

arctan_formula_pi

En effectuant un grand nombre de sommes, on peut théoriquement approcher π aussi près que l'on veut :

4(1 - 1/3 + 1/5) = 3.466666666
4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7) = 2.895238095
4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9) = 3.339682540
4(1 - 1/3 + 1/5 - ... + 1/41) = 3.189184782
4(1 - 1/3 + 1/5 - ... + 1/101) = 3.1611986134
4(1 - 1/3 + 1/5 - ... + 1/1001) = 3.143588660
4(1 - 1/3 + 1/5 - ... + 1/100 001) = 3.141621653

Bon, effectivement, ça converge... Il faut faire 50000 additions pour obtenir 3 décimales exactes. L'approximation de l'arctan était donc une fausse bonne idée...

1706 après JC : 100 décimales exactes
Tout n'est pas perdu. Même si la fonction arctan n'est pas géniale au premier abord, elle peut tout de même être utile. En utilisant la formule de trigonométrie pour la tangente, on en trouve une simple pour l'arctangente. En l'appliquant sur les bons triangles, elle permet de donner de nouvelles formules pour pi :

geom_arctan
Deux formules impliquant arctan permettant théoriquement de calculer π.

En 1706, l'astronome anglais John Machin découvre, en utilisant le même genre de triangles qu'au dessus, la formule qui va tout changer : π/4 = 4arctan(1/5) - arctan (1/239). En utilisant la formule de Gregory, elle donne la valeur suivante pour pi :

Machi_pi

En prenant une grande valeur de N, on obtiendra une très bonne approximation de π :

N=0 : 4.( 4/5 - 1/239 ) = 3.1832...
N=1 : 4.( 4/5 - 1/239 - 4/(3.53) + 1/(3.2393) ) = 3.14059...
N=2 : 4.( 4/5 - 1/239 - ... + 4/(5.55) - 1/(5.2395) ) = 3.1416210...
N=3 : 4.( 4/5 - 1/239 - ... - 4/(7.57) + 1/(7.2397) ) =  3.14159177...
N=20 : 4.( 4/5 - 1/239 - ... + 4/(41.541) - 1/(41.23941) ) =  3.1415926535897932384626433832818...

En à peine 40 additions de fractions, on trouve 30 décimales exactes pour π ! (Comparé à la première formule de l'arctangente qui n'en donnait qu'à peine 1, la progression est prodigieuse !). On montre que la formule de machin permet de donner environ 1.4 nouvelles décimales à chaque nouvelle opération.
Machin s'est servi de cette formule pour devenir officiellement le premier mathématicien à avoir calculé - sans ordinateur - plus de 100 décimales du nombre π.

1873 après JC : 707 528 décimales exactes
Au fil du temps, les formules dérivant de la formule de l'arctangente s'améliorent.

La meilleure actuellement sur le marché est celle de Stomer, découverte en 1896 :

formule_Stormer

C'est donc sans cette formule que William Shanks, après 10 ans de calcul, fournit le record qui tiendra jusqu'au milieu du XXe siècle : 707 décimales du nombre pi. Ce sont ces mêmes décimales qui décoreront le plafond de la salle 31 du palais de la découverte, celle dédiée au nombre pi. Ce n'est qu'en 1945 qu'on découvrira que les décimales sont fausses à partir de la 528e... Heureusement, le plafond a été refait depuis, et ce sont les bonnes décimales que l'on peut aujourd'hui y lire.

1897 après JC : 0 décimales exactes
Durant l'année 1897, le grand mathématicien amateur Edward Goodwin, après avoir résolu les 3 grands problèmes de l'Antiquité - qui depuis ont été démontrés insolubles, proposa à la Chambre des Lois de l'Indiana un texte de loi fixant une bonne fois pour toutes des formules permettant d'effectuer différents calculs d'aires. En filigrane, cette loi allait fixer à pi la valeur près précise de 3.2, et à √2 la valeur de 10/7. Le texte ne fut heureusement pas adopté, les législateurs jugeant finalement qu'aucun texte de loi ne pouvait fixer des vérités mathématiques...

Époque tertiaire : l'informatique
Avec l'arrivée de l'informatique, les calculateurs ont pu se faire plaisir. D'années en années, le record du nombre de décimales calculées n'ont cessé d'augmenter !

1949 : 1000 décimales (Fergusen & Wrench)
1958 : 10 000 décimales (Genuys)
1961 : 100 000 décimales (Shanks & Wrench)
1973 : 1 000 000 décimales (Guilloud & Bouyer)
1982 : 10 000 000 décimales (Kanada, Yoshindo & Tamura)
1987 : 100 000 000 décimales (Kanada, Tamura, Kobo & al.)
1989 : 1 000 000 000 décimales (Chudnovsky & Chudnovsky)
1997 : 50 000 000 000 (Kanada, Takahashi)
1999 : 200 000 000 000 (Kanada, Takahashi)
2010 : 2 699 999 990 000 décimales (Bellard)

Le passage au milliard de décimale s'est fait bien plus rapidement que prévu (à cette époque, le record sautait plusieurs fois par ans), la faute à de nouvelles formules, bien plus puissantes que les précédentes, ainsi qu'à de meilleures algorithmes pour les taches pénibles que sont les multiplications.

Pour en revenir à Bellard, il a utilisé la formule des frères Chudnovsky, reprenant une idée du pur génie Ramanujan. La formule ressemble à ceci :

formule_chudn
(C'est du Ramanujan dans le style, donc absolument abscons... On se demande comment une telle formule peut réellement exister...)

Personne - même pas lui - ne sait ce que va faire Bellard avec sa jolie médaille. Les astrologue lui prédisent un meilleur ordinateur (du genre supercalculateur) avec un meilleur algorithme, pour toujours plus de décimales...


Sources :
Site officiel du record de Bellard
Jean-Paul Delahaye, Le fascinant nombre π, Éditions Belin, Pour la Science