D'autres décimales

2.7 billions de décimales calculées pour un seul nombre, ça fait quand même beaucoup... Surtout quand on regarde ce qu'il en est des autres principales constantes mathématiques :

[Edit : janvier 2014]
π (rapport du périmètre d'un cercle sur son diamètre) :  12 100 000 000 050 décimales (décembre 2013)
√2 (diagonale d'un carré de côté 1) : 2 000 000 000 050 décimales (février 2012)
φ (le nombre d'or : racine positive de x²-x-1) : 1 000 000 000 000 décimales (2010)
e (base des logarithmes) : 1 000 000 000 000 décimales (juillet 2010)
β(2) (constante de Catalan) : 31 026 000 000 décimales (avril 2009)
γ (constante d'Euler-Mascheroni) : 119 377 958 182 décimales (décembre 2013)
ζ(3) (constante d'Apery) : 100 000 001 000 décimales (décembre 2010)
Et j'oublie la constante de Landau dont on ne connait qu'à peine 1 décimale...

Y a t-il de bonnes raisons pour s'amuser à calculer autant de décimales, quand on sait, par exemple, que 40 décimales sont largement suffisantes pour évaluer la taille de l'Univers visible à l'atome près ?
Aujourd'hui, un tour rapide des bonnes raisons de calculer toutes ces décimales !

Histoire de préciser les choses :
Le nombre d'or est égal à :

Le nombre e est la somme des inverses des nombres factoriels :

La constante de Catalan est la somme alternée de l'inverse des carrés des nombres impairs :

La constante d'Apery est la somme de l'inverse des cubes :

La constante d'Euler-Mascheroni est la différence à l'infini entre la série harmonique et la fonction logarithme :

Rationnels ou irrationnels ?
Un nombre est irrationnel s'il n'y a aucun moyen de l'écrire comme un rapport de deux nombres entiers (comme une fraction). Un nombre rationnel est, à l'inverse, un nombre que l'on peut écrire comme une fraction.  Quand on regarde le développement décimal d'un nombre rationnel, on s'aperçoit qu'il est toujours périodique : c'est toujours la même série de décimales qui est répétée.
Observer les décimales d'un nombre et en chercher les répétitions de décimales permet donc de savoir s'il est ou non rationnel !

Prenons par exemple le nombre :

(La suite des numérateurs est la suite de Fibonacci commençant par 0,1)

Quand on procède au calcul, on trouve que la valeur de C est :

.01123595505617977528089887640449438202247191/
01123595505617977528089887640449438202247191/
01123595505617977528089887640449438202247191...

On a donc de bonnes raisons de penser que ce nombre est rationnel, ce qui est le cas, puisque c'est en fait le nombre 1/89.

Le calcul explicite des décimales permet seulement de se donner une idée de la rationalité d'un nombre, on ne peut pas se passer d'un raisonnement.
De tous les nombres présentés, on sait :
√2 est irrationnel (démontré dans l'antiquité, la démo est bien connue)
φ est irrationnel, pour la même que √2 : c'est une racine carrée non entière.
e est irrationnel (démontré par Euler en 1737). Ses puissances entières (e², e³, ...) sont également irrationnelles (Lambert, 1761)
π est irrationnel (Démontré par Lambert également en 1761)
ζ(3) est irrationnel (Démontré par Apéry - d'où le nom de la constante - en 1977)
γ est probablement irrationnel, puisqu'aucun motif ne se retrouve dans ses décimales. Si ce nombre est rationnel, son dénominateur sera un nombre composé (d'au moins) 10²⁴²⁰⁸⁰ chiffres !
Le nombre β(2) possède le même statut : impossible de savoir s'il est ou non rationnel. Son développement décimal laisse présager que non...

Algébrique ou transcendant ?
Un nombre est dit algébrique (sur ℚ) quand c'est une racine d'un polynôme (à coefficients dans ℚ). Si ce nombre n'est racine d'aucun polynôme, on dit qu'il est transcendant.
Un nombre comme √2 est algébrique, puisque c'est une racine du polynôme X²-2. De même, φ est algébrique, et c'est même sa définition (être racine du polynôme X²-X-1). De manière générale, un nombre que l'on écrit avec les symboles -, +, ×, ÷ et √ est algébrique (La réciproque n'est pas vraie : un nombre peut être algébrique sans avoir d'écriture commode). Pour les sommes infinies, c'est autrement plus compliqué.

Heureusement, le développement décimal est là pour aider (un peu). On montre que si un nombre est racine d'un polynôme (entier) de degré 2 (on dit "quadratique"), alors son développement en fraction continue est périodique (Euler, 1748). Et réciproquement (Lagrange, 1774).

Écrire un nombre sous forme de fraction continue, c'est l'écrire sous la forme :

On écrit plus volontiers [a₀, a₁, a₂, a₃, ...]. Il existe un procédé assez simple pour transformer un développement décimal en fraction continue, que je préfère ne pas donner.
Quand on regarde le développement en fraction continue de √2, on trouve par exemple [1,2,2,2,2,2,...]. Ce développement est périodique, √2 est donc quadratique (bon, on le savait déjà...). Le développement en fraction continue de φ est [1,1,1,1,1,1,...].

On montre également que si la fraction continue n'est pas infini, c'est que le nombre est rationnel (connu depuis l'antiquité).

Pour les autres nombres, on trouve les développement en fractions entières suivants :
e = [2,1,2 ,1,1,4, 1,1,6, 1,1,8, 1,1,10, ...] (Bien que régulier, le développement n'est pas périodique)
π = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, ...] (aucune régularité notable)
Aucune période, donc. On a cependant su démontrer que ces deux nombres étaient transcendants (1882, Lindemann). Par contre, impossible de statuer sur e+π et e×π (On sait juste dire que l'un des deux est transcendant, probablement les deux).

Les trois autres ont un développement en fraction continue complètement imprévisible, mais on ne sait pas non plus statuer sur leur transcendance (même si on le suppose fortement). Si on venait à démontrer qu'ils sont transcendants, on en déduirait immédiatement qu'ils sont irrationnels.
γ = [0,1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,...]
β(2) = [0,1,10,1,8,1,88,4,1,1,7,22,...]
ζ(3) = [1,4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,...]

Univers ? Equirépartis ? Normaux ?
La quête des décimales sert surtout à se donner une idée sur les fréquences d'apparitions des chiffres et des chaînes de chiffres au sein des décimales de nombres.
Un nombre est dit "univers" (en base 10) quand n'importe quelle suite de chiffre apparaît quelque part dans la suite des décimales (J'en avais déjà parlé ici).

L'exemple le plus simple est la constante de Champernowne : le nombre C₁₀=0,12345678910111213141516..., composé de tous les nombres concaténés. On comprend bien que n'importe quel nombre entier se retrouve quelque part dans cette constante. Les nombres π, e, √2 ou γ le sont-ils ? A en croire les décimales que l'on connaît, c'est probable, mais impossible d'en être sûr sans en avoir la définition !
Notons tout de même que la constante de Champernowne est irrationnelle (comme n'importe quel nombre univers), mais est surtout transcendante. Son développement en fraction continue hautement erratique en donne une idée : C₁₀=[0,8,9,1,149083,1,1,1,4,1,1,1,3,4,1,1,1,15,...]. Le 19e terme possède 166 chiffres, et le 41e en possède 2504 (les termes intermédiaires se tiennent tranquilles et ne dépassent pas 156). Vous pouvez voir les premiers termes là-bas.

Un nombre est dit équiréparti (en base 10) si chaque chiffre possède une fréquence d'apparition de 1/10. L'exemple le plus simple est le nombre 13717421/1111111111 = 0,0123456789 0123456789 0123456789... (ce qui prouve que les équirépartis peuvent être rationnels). La constante de Champernowne est également équirépartie.
De la même façon, les développements décimaux des nombres π et ses amis indiquent qu'ils sont surement équirépartis, mais impossible d'en être sûr.
Les calculs de Bellard sur π donnent à "0" une fréquence de 0,0999996715, à "1" une fréquence de 0,099999981, etc. Ces nouveaux calculs vont toujours dans le même sens !

Un nombre est dit normal (en base 10) si chaque chaîne de n chiffres à une probabilité de 1/10ⁿ d'apparaître. Dans un tel nombre (comme C₁₀), les "5" apparaissent avec une fréquence de 1/10, les "42" avec une fréquence de 1/100, et ainsi de suite.
Cette propriété est encore plus forte que les propriétés d'être univers ou d'être équiréparti ! Même si les approximations numériques que l'on connaît y font fortement penser, on ne peut pas dire que π, √2 ou β(2) est normal...

Un nombre est dit normal -tout court- s'il est normal dans n'importe quelle base. On ne sait même pas si le nombre C₁₀ répond à cette définition... On ne sait d'ailleurs en expliciter aucun... On sait quand même en construire théoriquement: il suffirait de tirer au dé à 10 faces toutes les décimales d'un nombre.

Bref, si on calcule toutes ces décimales, c'est pour être sûr de savoir à quel point on est désarmé face aux questions de répartitions des décimales dans les nombres...

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Sources :
Beaucoup de Wikipédia
Un peu de Delahaye (Le fascinant nombre π, Éditions Belin, Pour la Science)
Etat des lieu des décimales : y-cruncher

Comments

[Robyn Slinger]

Ah, ça devait être ceci :
http://arxiv.org/abs/1001.0248

L'auteur prétend avoir établi la transcendance de la constante d'Apéry (et celle de Catalan). Mais bon, le procédé utilisé : sans être franchement malhonnête, aux premiers abords, comme ça, il a l'air assez curieux.

[Robyn Slinger]

Merci pour ce renseignement !

Ah, ça devait être 'transcendant' alors que j'ai vu passer (sur arxiv.org). Mais bon, je vois passer aussi pas mal de 'Proof of Riemann Conjecture', alors même si c'est un vrai souvenir, il est à prendre avec un grain de sel.

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D'un autre côté, les calculs de décimales : si on n'a pas trouvé de régularité avec dix mille décimales, il me semble improbable qu'on en trouve avec un million.

Cela soulève une question : est-ce qu'il existe des constantes naturelles ayant l'air irrationnel (comme e, pi, gamma...) et qui se sont révélées être des rationels ? Et de quel ordre de grandeur seraient les dénominateurs correspondants ?

[El Jj]

Robyn Slinger > Effectivement, comme le dit Mona, ζ(3) est irrationnel. Pour anecdote, l'association Echolalie a même décidé que ce nombre était transcendant !
Pour la constante de Mills, on en connaît une valeur approchée seulement si l'hypothèse de Riemann est vraie. Pour l'instant, 7000 décimales ont été calculées, et on ne peut pas dire si elle est irrationnelle...
Je voulais essentiellement donner des raisons mathématiques plus qu'informatique a calculer toutes ces décimales

[Mona]

Roger Apéry a démontré en 1977 que le nombre zeta(3), aussi appelé constante d'Apéry, est irrationnel. Mais on ne sait toujours pas s'il est transcendant.

[Robyn Slinger]

Il me semble qu'il a été établi depuis peu que zeta(3) est irrationnel, mais il faudrait que je vérifie.

Que dire sinon du nombre de Mills (un réel M tel que la partie entière de M^(3^n) est un nombre premier quel que soit n)? On sait qu'il existe et n'est pas entier. (Il ne doit pas être unique non plus, mais on doit pouvoir en choisir un particulier pour y remédier, le plus petit peut-être.)

Aussi, les nombres univers, il me semble que tout ceux qu'on connaît (dont il a été démontré que, s'entend) sont des nombres artificiellement construits, ce qui est un peu frustrant.

Et pour finir, calculer les décimales à toute berzingue ne sert pas seulement à formuler des conjectures sur l'irrationnalité des nombres. C'est aussi une manière de trouver des algorithmes plus efficaces d'une part, et d'autre part d'illustrer les améliorations des performances de nouveaux calculateurs.