Endoquoi ?

Puisque ton endomorphisme est un monomorphisme, c'est que c'est aussi un isomorphisme. Ton homomorphisme est donc un automorphisme !

Des mots qui font peur ?... Ce genre de phrase a pourtant tout à fait sa place dans un cours d'algèbre linéaire de licence...
C'est le principe : les mathématiciens aiment utiliser un vocabulaire compliqué pour faire croire que ce qu'ils font est difficile. Un algébriste d'aujourd'hui peut tout à fait parler de "localisation du spectre en approximation semi-classique en théorie de jauge" comme ma mère parlerait scrapbooking, et c'est soit-disant pour ça que l'on considère que les matheux ne sont pas des gens comme tout le monde.

Dans la catégorie des invulgarisables, je vais donc tenter aujourd'hui de donner le sens qu'il faut à tous ces affreux termes en -morphisme, que sont homomorphisme, endomorphisme, monomorphisme, épimorphisme, bimorphisme, isomorphisme, automorphisme, et peut-être même homéomorphisme et difféomorphisme. Rien de tel qu'un petit "épimorphisme" bien placé pour briller en société !

Dans le pire des cas, ça fera au moins un rappel de cours aux quelques premières années qui me liraient...

Homomorphisme (du grec homos = semblable et morphê = forme)
Qu'ils soient épimorphismes ou difféomorphismes, ce sont avant tout des homomorphismes, abrégés par morphisme. Ce sont des transformations d'objet dans un autre qui respectent l'objet en question, notamment les opérations qui pourraient y avoir été définies.
L'invention des homomorphismes daterait de la fin du XIXe siècle. On l'attribue au français Jordan (dans mes sources en français) ou à l'irlandais Hamilton (dans mes sources en anglais).

Prenons deux ensembles. Disons l'ensemble des animaux de fiction E={Milou, Idéfix, Oum, ...} et celui des animaux F={Chien, Chat, Tamanoir, ...}. On peut relier ces deux ensembles par la transformation T₁ qui, à un animal de fiction, associe son type. Ainsi, T₁(Jiji)=Chat (in Kiki la petite sorcière) ou T₁(Blaireau)=blaireau (in Les Animaux du Bois de Quat'sous). (On dit alors que "Chat" est l'image par T₁ de l'élément "Jiji")
Une transformation ("à machin on associe truc") est un morphisme d'ensemble, même si elle ne respecte rien de particulier (puisque, à priori, aucune addition n'a été définie sur l'ensemble des animaux de fictions). Les morphismes d'ensembles sont plutôt appelés des fonctions, ou des applications. Dans le cas présent, on peut préciser qu'il s'agit d'un morphisme de E vers F (noté T₁:E→F).

Prenons donc quelque chose de plus intéressant, où il y a des choses à respecter : les groupes. Un groupe est un ensemble sur lequel il existe une opération (genre, une addition ou une multiplication) possédant certaines propriétés (que je ne vais pas donner). Les ensembles (ℤ,+) (les nombres entiers munis de l'addition) ou (ℝ^*,×) (les réels non nuls munis de la multiplication) sont des exemples de groupes.
Un groupe étant bien plus qu'un ensemble, un morphisme se doit de le respecter en transformant la première opération en la deuxième.

Définissons par exemple l'application g entre le groupe (ℤ,+) et le groupe (ℝ^*,×) de la façon suivante : à l'entier n, on associe le nombre 2ⁿ.
Cette application g est un morphisme de groupe : que l'on fasse g puis la multiplication, (ie, g(n)×g(m)) ou l'addition puis g (ie g(n+m) ), on retombe sur la même chose. En effet, il suffit d'appliquer les formules sur les puissances : g(n)×g(m) = 2ⁿ × 2^m = 2^n+m = g(n+m)

L'application g' entre (ℤ,+) et (ℝ^*,×) définie par g'(n)=n²+1 n'est quant à elle pas du tout un morphisme. En effet, g'(5)×g'(4)=442 alors que g'(5+4)=82 : appliquer g' puis la multiplication ne revient pas à appliquer l'addition puis g', l'application g' ne respecte pas la structure de groupe.

Un troisième exemple : les espaces vectoriels. C'est d'ailleurs sur ces objets que l'on découvre en L1 la magie des mots en -morphisme. Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs (en s'accordant sur la définition suivante de vecteur : "ce que l'on trouve dans un espace vectoriel") sur lequel on a définit une addition entre deux vecteurs et une multiplication entre un nombre (un "scalaire") et un vecteur.
Comme exemple, on peut donner l'ensemble des points du plans (ℝ²) (Je sais, on dit "vecteur", mais pourquoi compliquer ?): on peut additionner deux points de coordonnées (x,y) et (x',y') et posant (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y'), et on peut multiplier un nombre λ et un point (x,y) en posant λ.(x,y) = (λx,λy).
De la même façon, l'ensemble des points de l'espace est un espace vectoriel.
Un autre exemple est celui des polynômes, que l'on peut ajouter entre eux, ou multiplier par des scalaires.

Pour qu'une application entre deux espaces vectoriels puisse porter le nom de "morphisme d'espace vectoriel", il faut donc qu'elle respecte aussi bien l'addition que la multiplication par un scalaire.
Autrement écrit, il faut que l'application f vérifie, pour tout vecteurs x et y, et pour tout scalaire λ  :

f(x+y)=f(x)+f(y)
f(λx)=λf(x)

On appelle ce genre d'application une "application linéaire".
Un exemple, parmi d'autre, d'application linéaire : on se donne une droite d (ici, d'équation y=-x)  et l'application f consiste à projeter les points perpendiculairement sur cette droite.

À un point du plan, f associe son projeté orthogonal sur d.
Cette transformation est un morphisme d'espaces vectoriels

On peut même exprimer f sous la forme d'une formule :

On résume cette formule sous la forme d'un tableau de nombre, appelé matrice. Dans le cas présent, la matrice associée à f est la suivante :

Tout morphisme d'espaces vectoriels (de dimension finie) peut se présenter sous la forme d'une telle matrice.

Maintenant que l'on sait tout sur les morphismes, on peut passer aux choses sérieuses : les mots qui ne sont même pas dans le dictionnaire !

Endomorphisme (du grec endo = à l'intérieur)
Un endomorphisme est un morphisme allant d'un objet vers lui même. L'exemple de la projection orthogonale est un endomorphisme, puisque l'on part du plan pour aller dans le plan. Les deux autres exemples ne sont pas des endomorphismes (puisque (ℤ,+) et (ℝ^*,×) ne sont pas les mêmes groupes, ne serait-ce que par leur nom)

Parmi toutes les races d'endomorphisme, ce sont les endomorphismes d'espaces vectoriels de dimension finie les plus intéressants, puisque l'on peut les représenter par une matrice carrée, qui se prêtent bien à l'étude approfondie.

Monomorphisme (du grec mono = unique)
Un monomorphisme (ou morphisme monique) est (dans sa dénomination la plus courante) un morphisme injectif. Une application est dite injective si deux éléments n'ont jamais la même image.

L'application T₁  (le premier exemple, tout en haut) n'est pas injective, puisque Oum et Flipper ont la même image par T₁ (tous les deux sont des dauphins !).
En modifiant un peu T₁, on en faire une application injective. Il suffit de changer un peu l'ensemble de départ, en prenant E'={Gris gris, Barbichette, Cui-cui, ...} l'ensemble des animaux de Sylvain et Sylvette. L'application T₂:E'→F, définie de la même façon que pour T₁, est injective, puisque Sylvain et Sylvette n'ont pas deux animaux de même type...
Bref, T₁ n'est pas un monomorphisme, mais T₂ en est un.

Le morphisme de groupes g:(ℤ,+)→(ℝ^*,×), par contre, est bien un monomorphisme (si deux points n et m on la même image, on peut (facilement) montrer que n=m)

Pour ce qui est de l'application f, elle n'est pas un monomorphisme. Il suffit par exemple de regarder les points (1,1) et (2,2), qui sont tous les deux envoyés sur (0,0). De la même façon que pour T1, il y a moyen de rectifier f pour en faire quelque chose d'injectif. On peut, par exemple, prendre l'axe des x comme ensemble de départ. Le morphisme f':(Ox)→ℝ² alors défini est alors bien un monomorphisme, mais ce n'est plus un endomorphisme...

Monomorphisme f':(Ox)→ℝ²

Épimorphisme (du grec epi = au-dessus)
Un épimorphisme (ou morphisme épique) est (dans sa dénomination la plus courante) un morphisme surjectif. Une application f:E→F est surjective si tout élément de F est l'image d'un point de E. Autrement dit, l'ensemble d'arrivée est entièrement atteint par f.

L'application T₁:E→F n'est pas surjective non plus, puisqu'aucun animal de fiction n'est un lamantin...

De même, le morphisme de groupes g:(ℤ,+)→(ℝ^*,×) n'est pas un épimorphisme de groupe, puisque le nombre 3 n'est pas une puissance de 2. En remplaçant le groupe (ℝ^*,×) par le groupe (G,×) (avec G l'ensemble {..., ¹/₄,¹/₂, 1, 2, 4, ...} des puissances de 2), on trouve le morphisme de groupes g':(ℤ,+)→(G,×), qui cette fois-ci est surjectif : c'est un épimorphisme (à noter que g' est toujours injectif...).

Enfin, l'endomorphisme f n'est pas un épimorphisme : le point (1,1) n'est image d'aucun autre point. Pour en faire un épimorphisme, il suffit de se restreindre à l'arrivée à la droite d. Le morphisme d'ev f'':ℝ²→d est alors un épimorphisme.

Dimorphisme (du grec di = deux)
Un dimorphisme est un morphisme bijectif, c'est à dire injectif et surjectif. Un dimorphisme est donc un morphisme qui est à la fois un monomorphisme et un épimorphisme !...

Dans les exemples déjà donnés, seul le morphisme de groupes g':(ℤ,+)→(G,×) est un dimorphisme.

Isomorphisme (du grec iso = égal)
Un isomorphisme est un dimorphisme où l'application réciproque est également un morphisme.
Explication : prenons une application f:A→B bijective. Tout élément de B est image d'un élément de A (surjectivité), et cet élément est unique (injectivité) ; il y a une correspondance entre les éléments de A et de B. On peut donc définir une fonction f^-1:B→A, qui associe à chaque élément de B son antécédent par f. Cette fonction réciproque n'a, à priori, aucune raison d'être un morphisme...

...sauf que dans les 3 cas que j'ai pris, c'est le cas : les morphismes bijectifs de groupes ou d'espaces vectoriels sont des isomorphismes. On peut rencontrer des dimorphismes non isomorphismes chez les morphismes d'espaces topologique, notamment.

Au final, deux objets isomorphes sont indistinguables du point de vue de leur seules propriétés. Par exemple, les groupes ({pair, impair},+) et ({amis, ennemis}, les * de mes * sont mes *), quand on ne regarde que leur table, sont complètement identique :

En remplaçant "pair" par "amis" et "impair" par "ennemi", on transforme la première table en la seconde.
La transformation qui effectue ce changement est un isomorphisme de groupes.

Notons au passage que les termes "injection", "surjection" et "bijection" sont l'œuvre du mathématicien virtuel Nicolas Bourbaki, au début du XXe siècle.

Automorphisme (du grec di = soi-même)
Plus fort encore : un automorphisme est un morphisme à la fois endomorphisme et isomorphisme !

De toutes les races d'automorphismes, ce sont les automorphismes de corps les plus instructifs. Sans eux, pas de théorie de Galois, et sans théorie de Galois, on n'aurait toujours pas les réponses aux questions que se posaient les grecs anciens...

Homéomorphisme, difféomorphisme
La catégorie des espaces topologiques possèdent également ses morphismes, sauf qu'on ne dit pas "morphisme d'espaces topologique", mais "application continue", et on préfère le terme "homéomorphisme" à "isomorphismes d'espaces topologiques". De la même façon, on ne parle pas de "morphisme de variétés différentielles", mais plutôt de "difféomorphismes"...

Notons tout de même que parmi tous les mots présents avant ce paragraphe, seuls 4 d'entre eux ne sont pas dans le dictionnaire officiel du scrabble : "monomorphisme", "monique", "épimorphisme" et "difféomorphisme"... Mais ce nombre aurait pu grimper à 11 si j'avais osé parler de symplectomorphisme, de cryptomorphisme, d'anamorphisme, de catamorphisme, d'hylomorphisme, d'apomorphisme ou de paramorphisme, qui existent également...

(Ouais, il semble que, après relecture, ma tentative de vulgarisation n'a pas atteint son but...)

Comments

[Robyn Slinger]

Oh oui, un billet sur les catégories, ce serait chouette :-)

[Marc Guastavino]

Le cadre le plus approprié pour définir tout ceci reste sans doute celui des catégories.
http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Epimorphism
Les cas inhabituels donnés ici perdent une partie de leurs sens, privés de leur structure unificatrice commune, ou plutôt, cette structure gagnerait à être dite (sujet d'un autre billet?).
Il est sans doute regrettable que la théorie des catégories soit enseigné si tard en France, voir n'y soit jamais enseigné.

[Robyn Slinger]

@Yogi : je vais essayer de la ressortir, c'est vrai que c'est très poétique :-)

@El Jj : en fait je crois que la première fois que je suis tombé sur cet exemple d'épimorphisme non surjectif j'en ai ressenti un choc profond (toutes proportions gardées, hein). D'autant plus que l'exemple en question n'est pas du tout pathologique, il pourrait aussi bien être donné en licence.

Je me souviens de ma première rencontre avec le théorème qui dit qu'un morphisme de groupes est inversible ssi il est bijectif : cela m'a paru évident et frisant la tautologie*. Ce n'est qu'assez longtemps après que j'ai compris vraiment ce que disait le théorème.

Dans une autre direction, une grande source de perplexité était en analyse, où des tas d'espaces de fonctions sont contenus les uns dans les autres mais les inclusions naturelles ne sont pas forcément continues.

* même si, au fond, tous les théorèmes qui sont vrais sont des tautologies.

[El Jj]

Robyn Slinger > Pour ces histoires d'épimorphismes non surjectifs, j'en suis tout à fait conscient (d'où la précision "dans sa dénomination la plus courante", sous entendu, dans un cours de licence). Pour ce qui est des morphismes bijectifs qui ne sont pas des isomorphismes, il faut effectivement regarder des choses moins "évidente" que les ensembles, les groupes ou les ev de dim finie, comme les variétés différentiables !

Yogi > C'est définitivement l'algèbre la plus grande source de poésie mathématiques !

[Yogi]

Ahh ... J'ai gardé un souvenir ému de la phrase "Les endomorhismes surjectifs transportent les anneaux", l'une des plus poétiques qu'il m'ait été donné d'entendre en cours ...