Mon dernier brûlot article parlait entre autre de ce sujet hautement polémique que sont les carrés magiques ! Ces tableaux de nombres permettent de diviser grossièrement la communauté mathématique en deux catégories : celle des mathématiciens amateurs et celle des mathématiciens confirmés. Alors que les premiers se pâment d'admiration devant un carré trimagique d'ordre 32, les autres préfèrent quand l'algèbre linéaire présente un peu plus de difficultés théoriques.

Le premier des carrés magiques est daté du XXIIe siècle avant JC, et c'est donc depuis tout ce temps que l'humanité trouve amusant de remplir des carrés avec des nombres pour en apprécier la magie. Outre les conditions de magie classique (somme sur les colonnes, lignes et diagonales constantes), les mathématicien amateurs se sont amusés à chercher des carrés magique vérifiant un maximum de conditions supplémentaires. Ainsi sont nés les carrés magiques additifs et multiplicatifs, diaboliques, bimagiques, alphamagiques... Allons aujourd'hui à la rencontre de cette étrange peuplade que sont les carrés multimagiques

Carrés magiques normaux...
Un carré magique, c'est donc une grille de côté n (et possédant donc n² cases) dans lequel sont placés n² nombres tels que la somme des lignes, des colonnes ou des diagonales soit constante. On parle de carré semi-magique quand les diagonales ne donnent pas la constante.

carre_chinois
Carré magique normal d'ordre 3, déjà connu des Chinois dans les années -2200.
La somme des lignes, colonnes ou diagonales donne la constante magique 15.

Un carré magique d'ordre n est dit normal si tous les entiers de 1 à n² sont représentés.

On peut pousser un peu la magie pour avoir la panmagie en demandant à ce que toutes les diagonales (dont les diagonales brisées, comme celle en bleu) soient magiques :

carre_panmagique
Fait particulier : ce carré magique ne se contente pas d'être normal et panmagique, mais est hyper-magique : en sommant sur des croix (en rouge ou vert), on retrouve la constante magique, qui est 65.


Carrés bimagiques ...
A la fin du XIXeme siècle, on commençait à faire le tour des carrés magiques. De nouvelles contraintes sont apparues pour renouveler le genre. "Et si on cherchait des carrés magiques qui restent magique quand on élève au carrés tous ses éléments?"

Le premier à s'être livré à la tâche est le français G. Pfefferman, qui publie en 1891 dans les "Tablettes du chercheur", une revue de problèmes mathématiques récréatifs, le premier carré bimagique. Il est publie sous forme de tableau à compléter, et la solution sera donnée deux semaines plus tard. Détail inintéressant sur la vie de Pfefferman : on ne sait pas du tout de qui il s'agit (on ne sait même pas ce que signifie ce "G."...).

Le carré bimagique (normal) est le suivant :

bi_magique
Ce carré magique (d'ordre 8, de constante magique 260) reste magique quand on remplace chaque élément par son carré. On trouve alors un carré magique de constante magique 11180 :

bi_magique_carre

Peut-on trouver de meilleurs carrés bimagiques (ayant un ordre plus petit) ? La question est encore, sur certain points, ouverte...
Il n'existe pas de carré bimagique parfait d'ordre inférieur à 8. Cette assertion date de 2005, n'a pas été démontrée mathématiquement, mais seulement informatiquement : toutes les combinaisons ont été essayées, et aucune n'a fonctionné !... On ne peut pas trouver non plus de carrés bimagiques d'ordre inférieur à 8 quand on se permet des entiers consécutifs.

Le problème devient déjà plus compliqué quand on se permet des entiers différents.
Plus d'un siècle après Pfefferman, le polonais J. Wroblewski  donne en février 2006 un exemple de carré bimagique d'ordre 6 ! Les entiers utilisés vont de 1 jusqu'à 135, la constante magique est 408 et la constante du carré des carrés est 36826.
Mais 3 mois plus tard, Lee Morgenstern exhibe un meilleur carré bimagique d'ordre 6 : ses constantes magiques sont 219 et 10663, et les nombres utilisés vont jusqu'à 72.

bi_magique_6
2006 : carré bimagique d'ordre 6 de
Il sera prouvé (informatiquement) en 2009 que l'on ne peut pas trouver mieux : les constantes magiques (219 et 10663) sont les plus petites possibles, ainsi que les nombres utilisés (72 est le minimum)

Peut-on trouver plus petit ? On sait que les carrés bimagiques sont impossibles à l'ordre 2 (puisque, de toutes façon, il n'existe pas de carrés magiques d'ordre 2 sans doubles), à l'ordre 3 (Lucas, 1891) et à l'ordre 4 (Pebody, Rosa, 2004). Pour ce qui est de l'ordre 5, le problème est ouvert. Sur son site, Christian Boyer propose un carré presque bimagique d'ordre 5 : seules les diagonales du carré au carré ne donnent pas la bonne somme.
1000€ sont promis à celui qui donnera un exemple de carré bimagique d'ordre 5 (ou prouvera l'impossibilité).

Carrés trimagiques...
On peut pousser un peu plus loin la bimagie, en cherchant de la trimagie. Autrement dit : peut on trouver des carrés magiques qui restent magique après élévation à la puissance 2 et 3...

Le français Gaston Tarry (1843-1913, connu pour avoir résolu le problème des 36 officiers d'Euler) tombe tardivement dans la marmite des carrés magiques : c'était pour rabattre le caquet de l'un de ses amis qui prétendait à qui veut l'entendre qu'il n'existe pas de carrés panmagiques d'ordre un multiple de 3 qu'il découvre pour la première fois l'existence d'un tel carré. C'est un carré panmagique d'ordre 15. Il s'intéresse alors au monde des carrés magiques, et donne  pour la première fois en 1905 un exemple de carré trimagique : un carré magique qui reste magique quand on prend le carré ou le cube de ses éléments.
C'est un carré de dimensions 128x128, que je préfère ne pas reproduire ici...

Peut-on trouver de meilleurs carrés tri-magiques ? Évidemment !
En 1933, le général français à la retraite E. Cazalas publie à la fin de son livre "Les carrés magiques au degré n" (sous forme d'un dépliant !) un carré tri-magique d'ordre 64. Une petite erreur y est présente, mais facilement rectifiable. mais on peut faire mieux !

Un carré trimagique d'ordre 32 sera publié en 1976, par l'américain W. Benson, mais c'est l'allemand W. Tramp qui a le record avec son carré trimagique normal d'ordre 12. Ses constantes magiques sont 870, 83 810 et 9 082 800 :

tr_magique

On peut trouver une certaine symétrie verticale dans ce carré magique : dans une ligne, la somme du j-ième et du 13-j ième élément donne toujours 145. C'était d'ailleurs le point de départ dans la recherche de Tramp.

La question du plus petit carré trimagique (normal) se pose également, et affirme qu'on ne peut pas faire moins que l'ordre 12. La preuve est signée par Tramp.
Certains cas sont plus faciles à traiter, notamment le cas n=10 : il faudrait que les constantes magiques soient 505, 33 835 et 2 550 250 (nombres que l'on trouve en calculant la somme des 100 premiers entiers, de leur carré et de leur cube). Sur une ligne donnée, la somme des nombres et de leur carré doit être impaire, mais la somme de leur cube doit être paire : c'est impossible.

Carrés multimagiques...

On peut pousser encore plus : pourquoi pas tétramagique, pentamagique ? Les recherches ont évidemment été faite. Puisque quand on cherche, on trouve, des carrés magiques (normaux) ont bien été découvert, et on peut grossièrement résumer tout ça :

Carrés tétramagiques :
Premier découvert : ordre 256 (C. Devimeux, 1983)
Record : ordre 243 (P. Fengchu, 2004)

Carrés pentamagiques :
Premier découvert : ordre 1024 (C. Devimeux, 2001)
Record : ordre 729 (P. Fengchu, 2003)

Carrés hexamagiques :
Premier découvert/record : ordre 4096 (P. Fengchu, 2003)

Des carrés multimagiques existent aujourd'hui jusqu'au carré tétradécamagique (jusqu'à la puissance 14, avec un carré d'ordre 244), mais on sait depuis 2005 qu'il existe des carrés magiques n-multimagiques pour n'importe quel n ! Un résultat théorique conjecturé depuis très longtemps, mais démontré que très récemment.


Sources :
Multimagie.com : le site de référence sur les carrés multimagiques, par Christian Boyer (ancien directeur technique de Microsoft France)