Après avoir donné l'astuce permettant de fabriquer un carré magique en moins de 20 secondes, après avoir fait tout un topo sur les carrés multi-magiques et après avoir parlé des différentes manières de gagner 1000 € avec des carrés magiques, vous pensiez que j'avais fait le tour de la question ? Et bien non ! Avant de passer à d'autres sujet plus intéressant, ébaubissons-nous devant un pot-pourri de trouvailles carrémagiquiesques !

Carre_latin
Quelle est la particularité de ce carré magique ?
Solution à la fin de cet article...

Tapis magique d'ordre premier
(placer ici un subtil jeu de mot avec Aladdin)

Recette présentée par Mr E. Fourrey, 1907, d'après une idée originale de M. Arnoux.
Temps de préparation : O(p2)
Ingrédients : (pour une personne)

  1. Un entier premier p>3 (genre 5, 7 ou 181)
  2. Une grille carrée de côté 3p

- Pour vous faire la main, commencez par écrire les entiers de 1 à p² sous forme d'un carré p×p dans le coin supérieur gauche de votre grille (ou bien, une suite arithmétique de p² termes)
- Faites le huit fois de plus, pour remplir votre grille. Vous obtenez alors quelque chose comme ça :

tapis_magique1

- Choisissez votre nombre porte-bonheur et tracez à partir de celui-ci un losange correspondant à une marche de cavalier d'échec :

tapis_magique2

- Redressez les p² cases sélectionnées : vous avez devant vous un superbe carré magique, de constante magique p(p²+1)/2 !

tapis_magique3

Avec des nombres premiers
Faire des carrés magiques, c'est bien, mais faire des carrés magiques avec des nombres particuliers, c'est encore mieux. On peut en faire avec des carrés ou des cubes, mais on doit probablement pouvoir en faire avec seulement des nombre premiers.

La méthode Fourrey Arnoux permet au moins de donner une méthode bien pratique pour fabriquer de toute pièce des carrés magiques d'ordre p premier (avec p>3), où tous les termes sont des éléments d'une suite arithmétique. Ce qui est beau avec les nombres premiers (d'après le théorème de Green-Tao), c'est qu'il existe justement des suites arithmétiques de nombres premiers de longueur aussi grande que l'on veut.

Méthode Fourrey-Arnoux + théorème de Green-Tao => Il existe des carrés magiques aussi grands que l'on veut constitués seulement de nombres premiers ! (même s'ils sont plutôt difficiles à écrire).
Prenons par exemple la suite 6171054912832631, 6252792570914711, 6334530228996791, ..., 8132758706802551, suite arithmétique de premier terme 6171054912832631 et de raison 81737658082080. Par le plus grand des hasard, il se trouve que les 25 termes de cette suite sont des nombres premiers ! Ils permettent de donner ce carré magique, de constante magique 35759534049087955...

carre_premier

Avec des nombres polygonaux
Les entiers 1, 4, 9, 16 ou 25 sont des nombres "carrés" : avec 25 petites billes, on peut dessiner un carré. De la même façon, il existe donc des nombres triangulaires (comme 1, 3, 6 ou 10) ou pentagonaux (comme 1, 5, 12 ou 22) :

200px_TriangleNumbers
Nombres triangulaires, donnés par la formule n(n+1)/2

200px_Nombre_pentagon
Nombre pentagonaux, donnés par la formule n(3n-1)/2

Puisque l'on peut faire des carrés magiques avec des nombres carrés, pourquoi pas avec des nombres triangulaires ou pentagonaux ? C'est un domaine est à la péricarde des recherches mathématique, puisque de nombreuses questions sont sans réponses : quel est le plus carré magique de nombres triangulaires ? Et de nombres carrés ? Et de nombres pentagonaux ? On connaît pour chaque catégorie un exemplaire d'ordre 4, mais pourquoi pas d'ordre 3 ?

carre_triangulaires
Avec des nombres triangulaires distincts (C. Boyer, avant 2007)

carre_pentagonal
Avec des nombres pentagonaux distincts  (L.Morgenstern, 2007)

Carrés alphamagiques
Il est tant de répondre à cette question qui nous brûle de l'intérieur : mais quelle est donc la particularité du carré magique présenté au tout début de cet article ? La réponse était évidente : c'est un carré alphamagique latin ! Lorsque l'on écrit les nombres en toutes lettres (et en latin), le carré formé par le nombre de lettres des mots alors écrit est un carré magique !

En français, l'exemple sera peut-être plus intéressant :

carre_fran_ais

Que l'on considère le carré ou son "dérivé logorithmique" (le carré formé par le nombre de lettres dans le nom des nombre), on trouve des carrés magiques !

Il en existe évidemment en anglais :

carre_anglais 

Voire en italien :

carre_italien

Ou en allemand (mais ça compte pas, tous les mots font la même longueur)

Carre_allemand

Et enfin, le fameux carré latin (l'énigme était totalement introuvable, puisqu'il utilise plusieurs nomenclature différentes pour les nombres...)

Carre_en_latin

L'auteur de cette forme d'art, Lee Sallows, donne même des exemples en suédois, en latin et même en swahili !
Pour la semaine prochaine, il y a donc des devoirs : composez un carré alphamagique en espagnol, en portugais, en wolof, en klingon, en shadoks ou en na'vi. Le site de JM Roux donne la marche à suivre pour construire ce genre de prodige.

Et la semiane prochaine, peut-être autre chose que des carrés magiques !


Sources :
Multimagie, pour la partie sur les carrés magiques triangulaires et pentagonaux
Les carrés alphamagiques, chez JM Roux